对分布函数（pair distribution function, PDF）是一种描述材料中原子之间距离分布的方法，它可以反映材料的短程和中程结构信息，对于非晶、液体、纳米等无规材料的结构表征有重要意义。PDF是通过对材料的X射线或中子散射数据进行傅里叶变换得到的，它表示在一个原子附近，另一个原子相距r的概率密度。PDF的峰值对应于不同原子对之间的平均键长，峰面积对应于配位数，峰宽度对应于原子的平均位移，峰形对应于原子之间的结合强度等。PDF可以用来研究材料的相变、反应、缺陷等过程中结构的变化和机理。
PDF的计算方法主要有两种：实验法和理论法。实验法是利用X射线或中子源对材料进行散射实验，测量散射强度随散射向量Q（或角度2θ）的变化关系，然后通过傅里叶变换得到PDF。理论法是根据已知或假设的材料结构模型，计算其理想的散射强度，并通过傅里叶变换得到理论PDF，与实验PDF进行比较和拟合，从而优化结构模型或提取结构参数。
PDF实验的步骤如下：
- 选择合适的X射线或中子源，根据材料的性质和目标结构尺度选择合适的波长和散射角范围。一般来说，X射线更适合研究轻元素和低密度材料，中子更适合研究重元素和高密度材料。散射角范围决定了散射向量Q的范围，Q越大，能够探测到的结构尺度越小。
- 测量样品和标准样品（一般为金属或硅）的散射强度I(Q)。样品应该是均匀、各向同性、无应力、无缺陷、无吸收等影响因素的理想样品。实际上，这些因素都会对散射强度产生影响，需要进行适当的校正。
- 根据标准样品的已知结构参数，计算其理想的散射强度I0(Q)，并与实测值进行比较，得到仪器因子C(Q)。仪器因子包括了仪器本身的分辨率、几何效应、探测效率等因素对散射强度的影响。
- 用仪器因子C(Q)校正样品的散射强度I(Q)，得到校正后的散射强度S(Q)。S(Q)反映了样品本身的结构特征，与仪器无关。
- 对S(Q)进行傅里叶变换，得到PDF G(r)。傅里叶变换需要选择合适的窗函数和截断参数，以减少振荡和噪声等伪影。G(r)表示在一个原子附近，在距离r处找到另一个原子相对于随机分布的概率增量。
理论法计算PDF的步骤如下：
- 假设或构建一个材料的结构模型，包括原子的种类、位置、占据率、热振动等参数。结构模型可以是晶体结构、非晶结构、纳米结构等不同类型，也可以是多相或复合材料的组合。
- 根据结构模型，计算其理想的散射强度S0(Q)。S0(Q)是由结构因子F(Q)决定的，F(Q)是由原子散射因子f(Q)和原子位置因子P(Q)决定的。f(Q)反映了原子本身对X射线或中子的散射能力，P(Q)反映了原子之间的相对位置关系。
- 对S0(Q)进行傅里叶变换，得到理论PDF G0(r)。G0(r)表示在一个原子附近，在距离r处找到另一个原子相对于随机分布的概率增量。
- 将理论PDF G0(r)与实验PDF G(r)进行比较和拟合，评估结构模型的合理性和准确性，优化结构参数或改进结构模型，直到达到满意的拟合程度。
以上是我对对分布函数的介绍，希望对你有所帮助。
参考文献
https://www.x-mol.com/paper/1461410312352595968/t
https://www.math.pku.edu.cn/teachers/lidf/docs/statcomp/html/_statcompbook/intro-intro.html
https://zhuanlan.zhihu.com/p/497889988
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