刚体运动学（4）：凯利-克莱因参数

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2020-02-14 14:58 被阅读0次

$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 动机

涉及到欧拉角的矩阵变换含有大量的三角函数，不适合用于数值的计算。为克服这一障碍，在历史上，费利克斯·克莱因在求解复杂的陀螺仪积分问题时，便使用了一组四个的参数来描述陀螺仪的运动。于是这四个参数在后来就被称为凯利-克莱因参数（Cayley-Klein parameters）。

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 记号

凯莉-克莱因参数均为复数，记为 $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ ，

$\alpha = e^{i(\psi + \phi)/2}\cos\frac{\theta}{2}$

$\beta = ie^{i(\psi - \phi)/2}\sin\frac{\theta} {2}$

$\gamma = ie^{-i(\psi - \phi)/2}\sin\frac{\theta}{2}$

$\delta = e^{-i(\psi + \phi)/2}\cos\frac{\theta}{2}$

存在约束条件 $\beta = -\gamma^{\ast};\quad \delta = \alpha^{\ast}$

转动算符 $\rm{R}$ 可以被进一步表示成

$\rm{R } (\alpha,\beta,\gamma,\delta) = \begin{bmatrix}\frac{1}{2}(\alpha^2 - \gamma^2 + \delta^2 - \beta^2) & \frac{i}{2}(\gamma^2 + \alpha^2 + \delta^2 - \beta^2 ) & \gamma\delta - \alpha\beta\\\frac{i}{2}(\alpha^2 + \gamma^2 - \beta^2 - \delta^2) & \frac{1}{2}(\alpha^2 + \gamma^2 + \beta^2 + \delta^2) & -i(\alpha\beta + \gamma\delta)\\\beta\delta - \alpha\gamma & i(\alpha\gamma + \beta\delta) & \alpha\delta + \beta\gamma\end{bmatrix}$

$\mathrm{\mathbf{I\!I\!I.}}$ 欧拉参数

由于 $\rm{R}$ 是实矩阵，不妨定义

$\alpha = e_0 + ie_3$

$\beta = e_2 + ie_1$

$\gamma = -e_2 + ie_1$

$\delta = e_0 - ie_3$

其中，四个参量 $e_0,e_1,e_2,e_3$ 均为实数，被叫做欧拉参数（Euler parameters），欧拉参量之间的关系有

于是，转动算符 $\rm{R}$ 也可以表示成如下形式

$\rm{R}(e_0,e_1,e_2,e_3) = \begin{bmatrix}e_0^2 + e_1^2 - e_2^2 - e_3^2 & 2(e_1e_2 + e_2e_3) & 2(e_1e_3 - e_0e_2)\\2(e_1e_2 - e_0e_3) & e_0^2 - e_1^2 + e_2^2 - e_3^2 & 2(e_2e_3 + e_0e_1)\\2(e_1e_3 + e_0e_2) & 2(e_2e_3 - e_0e_1) & e_0^2 - e_1^2 - e_2^2 + e_3^2 \end{bmatrix}$

$\bullet$ 用上述参数表示的转动算符同样也不也能被分解成含有反演算符 $\rm{S}$ 的形式。