刚体运动学（2）：正交变换

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2020-02-12 11:30 被阅读0次

$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 记号

为了方便研究方向余弦的特点，引入下列记号。

（1）将所有的坐标表示为 $x$ ，不同坐标轴之间用下指标来区分

$x \leftrightarrow x_1;\quad y \leftrightarrow x_2;\quad z \leftrightarrow x_3$

或 $x_i \quad (i=1,2,3)$

（2）将方向余弦表示为： $a_{ij} = \cos\theta_{ij}$

使用上述表示法

$\begin{align*}x_1^{\prime} = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3\\x_2^{\prime} = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3\\x_3^{\prime} = a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3\end{align*}$

坐标之间的关系满足两个参考系之间矢量的线性变换，系数 $a_{11},a_{12},...$ 可以是任意不依赖于坐标 $x$ 和 $x^{\prime}$ 的常数组。

（3）为了方便书写，还会将频繁出现的求和符号省略。具体来讲，就是当一个项的指标出现两次或者多次时，不需要借助任何额外符号，该项会被自动认定为存在对其指标所有可能值的加和。这一记号习惯被称为爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention），于1916年由爱因斯坦提出。

在某一项中出现过两次以上的求和指标常常被称作哑指标（dummy index），在一个等式两边仅出现过一次的指标被称为活指标（live index）。

另外两个附加约定则提出，

第一，哑指标可以被随意更换为其它任意字母对，但取值范围不变。

第二，若出现求和式相乘的情况，为避免歧义，两求和式的哑指标不能使用相同字母表示。

$\bullet$ 其实，活指标也可以被随意更换，但使用者必须保证等式的连贯性，即等式两边对应的活指标都需做出改动。

于是，（2）中的坐标变换可以被简洁地记为： $x_i^{\prime} = a_{ij}x_j \quad (i = 1,2,3)$

（4）为了不产生歧义，会将平方求和写为两个相同量的积： $\sum_i x_i^2 \leftrightarrow x_ix_i$

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 正交条件

位置矢量是一个几何量，它的长度不会因为参考系的不同而改变，所以其长度在两个参考系下都是不变量。于是有

$x_i^{\prime}x_i^{\prime} = x_ix_i$

而

$x_i^{\prime} = a_{ij}x_j$

所以

$\begin{align*}(a_{ij}x_j)(a_{ik}x_k) &= x_ix_i\\a_{ij}a_{ik}x_jx_k &= x_ix_i \end{align*}$

（1）若 $j = k$ ， $a_{ij}a_{ik} = 1$

（2）若 $j \neq k$ ， $a_{ij}a_{ik}x_jx_k = x_ix_i \implies a_{ij}a_{ik} = 0$

或者，写成更简洁的形式：

$\boxed{a_{ij}a_{ik} = \mathbf\delta_{jk} \quad (j,k = 1,2,3)}$

$\bullet$ 将 $a_{ij}$ 替换为 $\cos\theta_{ij}$ ， $i$ 替换为 $l$ ， $j$ 替换为 $m$ ， $k$ 替换为 $m^{\prime}$ ，又可以回到熟悉的形式

$\sum_{l=1}^3\cos\theta_{lm^{\prime}}\cos\theta_{lm} = \delta_{mm^{\prime}}$

任何满足上述关系的线性变换被称为正交变换（orthogonal transformation）。上述条件有时也被称为正交条件（orthogonal condition）。

$\mathrm{\mathbf{I\!I\!I.}}$ 变换矩阵

从固定在空间的坐标到固定在刚体内坐标的转换是由一系列正交变换得到的。正交变换可被视为一个作用在参考系 $S$ 和 $S^{\prime}$ 之间的线性算符 $L$ 。

算符 $L$ 在矩阵代数中可用一个 $i \times j$ 的方阵来表示

$\rm{A} = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

其中 $a_{ij}$ 代表变换矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的矩阵元。

对任意矢量 $\mathbf{r}$ ，两个参考系之间的坐标变换可以表示为

$L(\mathbf{r}) = (\mathbf{r})^{\prime} = \rm{A}\mathbf{r}$

其中括号的使用强调了在变换前后矢量都是相同的（长度方向均不改变），唯一改变的只有坐标本身。

在三维空间，形如这样的坐标变换的实际意义就是将坐标系旋转，矩阵 $\rm{A}$ 与平面的变换矩阵其实是相同的。

矩阵 $\rm{A}$ 也可以被视为是从矢量 $\mathbf{r}$ 到矢量 $\mathbf{r}^{\prime}$ 的矢量变换

$L(\mathbf{r}) = \mathbf{r}^{\prime} = \rm{A}\mathbf{r}$

注意这次没有括号的使用，表明矢量本身发生了改变，而坐标系在变换前后均是同一个。

这种变换的二象性其实很好理解。比如在二维平面，除了固定矢量 $\mathbf{r}$ ，逆时针旋转参考系角度 $\phi$ ，我们也可以选择固定参考系，顺时针旋转矢量 $\mathbf{r}$ 相同角度来达到同样的效果。这两种诠释，除了出发角度不同，结果都是相同的，所以有时候即便不适用括号也不会有任何影响。

一般来讲，我们将如同上述的仅仅作用在坐标系上的变换称为被动变换（passive transformation），将那些直接作用在矢量或一些物理量上的变换称为主动变换（active transformation）。关键在于使用者想如何看待。