由两道数学题引发的对数学思维的思考

  其实，思考早就写在我先前的简书和头条的文章中，这里只不过是借两道数学题来给读者讲解下先前的思考结果。

第一题

  高中题。已知函数,实数m，n满足

  这是今日头条一位老师视频中的题，我80年代末期读高中自学数学时应该没学过三次函数，那时刷的题不多，看的数学书不多，还看与学习无关的书籍，也没碰到过和三次函数有关的这样的求和题，但在高中自学时把数学思维玩的熟，初高中数学知识没啥好玩的，容易学，玩数学思维才有意思，初高中数学知识是玩数学思维锻炼思维时的工具，或指月之手，过河之舟，我们的目的是知道月亮在哪、过河、锻炼数学思维能力，领悟思维之道，别一直偏重手指和舟，只盯着手指和舟。读大学期间很少学习，掌握的数学知识也不多，也不是数学专业，几十年来也不玩数学。

    此时我如何处理？

    我想到了联想思维和类比思维，从思维方法论工具箱中搬出它们来用。另外，穷则思变，碰到无从下手的题，要有变化的思想和联系&关系思想，找关系建构关系才有出路，要变化才有出路。

    观察题目特征，有3次函数，所以就联想到2次函数，再联想到二次函数的配方法(配平方)，所以就类比出配立方，配立方就是变化的操作手段，最终方法如下图。

  做完之后，看了这位老师的视频，原来三次函数有对称中心，用二阶导数求对称中心，利用对称中心求出m+n之和。那时读高中，没学过三次函数的对称中心和微积分，微积分到大学才学，三次函数的对称中心一直没学过。

  对这道题的解题思维过程，引发我们什么思考？

1.数学知识重要，需要学。我没学过三次函数的对称中心知识，所以不知道这位老师的方法。其实大多数知识不难学，可以自学，就像看新闻和收集信息一样，你掌握的多，碰到问题时很可能就比不掌握这些信息的人反应快或做的决策要好，信息不对称，但也不一定，还要有思维之道。

2.掌握数学知识有多重要？或者说高中掌握众多的知识有多重要？庸俗点说，可能可以考上理想的大学。但很多读过高中和大学的，你掌握的众多数学知识有多大用处?用到了多少？还能记得多少？

3.很多时候，思维比知识重要，或者说知识和思维同等重要。数学是锻炼思维的体操，锻炼思维没有比用数学更好的方式。知识很容易忘记，很多在人的一生中也用不上，但锻炼出来的思维能力，灵活、严谨、系统、深刻、辩证、批判的思维品质，在很多行业和领域是需要的，受用终身的，不只是数学领域。思维是有灵性的有智慧的，知识是工具，是靠思维来驱动的。

4.初高中乃至大学教育，一直偏重知识的输贯，鲜有真正的思维能力的锻炼熏陶，老师在讲题过程中，很少有能把思维过程讲透彻讲清楚的，通常一上来就讲解题方法和知识，层次不够高，浪费了用好题来锻炼思维的机会，学生很难体会到思维的乐趣，不知道如何用思维方法论来探索发现解题方法，大多只是机械记住了解题方法和数学知识，过后很容易遗忘。

5.解题过程中和解题结束后，要回味自己的思维过程和解题后的思维总结体会，得与失：怎么思考分析的，运用了哪些思维方法，哪些思想方法，写出对思维方法和思想方法的实践体会。例如这道题我通过观察发现题目特征:三次函数。类比二次函数，类比二次函数的配方法(配平方)，我想到要对三次函数配立方。这道题锻炼了类比思维能力和辩证法的联系观，关系思想、函数思想、构造思想。

  理想的数学考试，应该取消选择题，另一个对有些题，不能只有解题方法，要学生写出自己的思维过程和解题后的思维总结体会。

  数学是锻炼思维的体操，只有对各种思维方法和思想方法念念不忘，在初高中数学物理学习中，经常把它们挂在嘴上，写在纸上，印在脑中，多探索多体会它们的作用。玩索而有得，这样才能达到锻炼思维的目的，而不只是偏重对知识的学习掌握，这样即便掌握很多知识，碰到有难度的题，没有思维方法去破题，众多知识也难以运用。

第二题

  如图，边长为6的正三角形ABC，对三边作6等分线，出现各种大小的三角形，求图中三角形的总数。这题是小学题，但高中生也可以做，可以推广扩展下，考虑边长为n且n等分时的情况。

三角形计数

对这道题，要把做这道题锻炼了什么思维方法和思想方法，让学生理解，而不是只教学生数数。

这道题，锻炼观察能力，形象思维能力和归纳能力。可发现所有大大小小的三角形都是正三角形，且三角形有两种形式，如下图所示，一种是一个顶点在上方，另一种是两个顶点在上方。

除此之外，这题显然还锻炼有序化思想、分类思想、化整为零思想。三角形按边长大小分成6类，对每一类三角形计数，再汇总起来就是所求的总数。在计数时，按边长大小从小到大的顺序计数，且从上到下，从左到右计数。这样就不容易遗漏，也不容易重复。

高中生就不要只限于做这样的题，要推广扩展下，考虑边长为n且n等分时的情况下有多少个三角形。

边长为n，这是抽象情况，抽象问题如果不好解决，可运用抽象到具体的辩证思维，以退为进简化问题，考察下边长为1、2、3、4、5、6等具体数字且数字较小时的情况，得到一些启发和感性经验，归纳猜想出结论，或从简化问题中得到启发和感性经验之后，再回到边长为n的情况。

根据从边长为具体数字时得到的启发和感性认识：三角形为正三角形、可运用分类思想、有序化思想、化整为零思想。我们可得出n时的情况。

另一种数学思想也很容易想到，就是递推思想，边长为n且n等分时的情况可由边长为n-1且n-1等分的情况演化而来，就是在n-1三角形下方增加1个长度，延伸下等分线。再考虑从n-1到n时增加了多少三角形(增量)。这些增加的三角形，必有一个或两个顶点在边长为n的三角形的底边。抽象化地统一考虑边长为k()的三角形增加了多少，得到一个公式，再，从1到n累加起来就得到增量。在得到的时候，要注意观察图形，要发现在考虑两个顶点在上方的三角形的计数，要满足必要条件，故要按n的奇偶性来讨论。

另外在计数时，要运用对应思想，找出三角形和它的其中一个顶点(例如左下方的顶点或下方的顶点)的对应关系，把对三角形的计数变成对顶点的计数。

  设边长为n时的三角形个数为,则。考虑n的奇偶性，数列累加就可得出

  自己回味总结下做这道题在思维&思想上的收获。

  每道有意义的数学题都这样回味总结，数学思维能力就容易锻炼好，不要只盯着解题方法和方法中涉及到的底层的数学知识和低级的数学方法，它们大多数很简单，难点在思维上，也就是难在如何想、想什么上，难在解题的分析与破题上，如何思考出解题方法，这才是需要领悟的大道：数学思维之道&数学思维方法论体系。否则就是本末倒置，买椟还珠，捡了芝麻丢了西瓜。