一.矩阵概念的一些背景
略
矩阵相等的概念：同型且对应值相等。
- 单位矩阵
- 零矩阵
- 方正
- 上（下）三角矩阵
- 对角矩阵
- 奇异矩阵
- 正交矩阵
- 伴随矩阵
二.矩阵的运算
1.加法
- 定义
- 结合律、交换律、负矩阵、零矩阵
- r(A+B)<=r(A)+r(B)
2.乘法
- 定义：略，要求第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等
- 适合结合律、不适合交换律（交换不一定满足列行相等，若满足得到的矩阵不一定维数相等，维数相等，矩阵内值不一定相等。），适合分配律
- 单位矩阵：AE=EA=A，单位矩阵可以与所有矩阵做交换乘法，kE数量矩阵亦可。
- 方幂:
,
,方幂只能对方幂来定义。
与
不相等，因为矩阵乘法不适用交换律。
- AB=AC,不能得出A=C,因为AB=0时，A,B可能都不是0，所以A(B-C)=0,B-C也可能不等于0.
3.数量乘法
- 定义
- 满足：
，
，
，
，
。
4.转置
- 定义
- 满足：(A')'=A,(A+B)'=A'+B',(AB)'=B'A',
5.矩阵多项式：
-
设A为n阶矩阵
，令
，称f(A)为A的矩阵多项式。矩阵多项式也可以进行分解，如
。
三.矩阵乘积的行列式与秩
1.几个计算
- 如果A可逆，
2.秩
- A是退化矩阵，|A|=0,r(A)<n.AB是退化矩阵，A和B至少有一个是退化的。
- r(AB)<=min{r(A),r(B)}
四.矩阵的逆
1.定义
- n级方阵A称为可逆的，如果存在n级方阵B,使得AB=BA=E
- 只有方阵才有逆矩阵
- 逆矩阵是唯一的
2.逆矩阵存在的充分必要条件
- n级矩阵A可逆的充分必要条件是A是非退化矩阵|A|!=0
3.逆矩阵的求法
-
定义法
-
伴随矩阵法：
,其中A是非退化的
- 推论：
- 推论：
- 推论：
-
初等矩阵法：(A:E)经过初等行变换，变成（E:
）
-
定理： A是一个sxn的矩阵，P是sxs矩阵，Q是nxn矩阵，那么r(A)=r(PA)=r(AQ)
五.矩阵的分块
1.分块矩阵的乘法
- 略
2.几个特殊矩阵的逆
-
,
,|D|=|A||B|
-
,D=
|A||B|
- 准对角矩阵的逆，与乘法:略
六.初等矩阵
1.定义
- 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
- 三类略
2.定理
-
一个sxn的矩阵A作初等行变换相当于在A的左侧乘上对应的sxs初等矩阵，对A作初等列变换相当于在A的右侧，乘以对应的nxn的初等矩阵
-
等价：
-
矩阵A与B等价，如果B可以由A经过一系列初等变换得到，等价具有自反向，对称性与传递性。
-
矩阵A与B等价的充分必要条件是，存在初等矩阵
,使得
，即存在s级可逆矩阵P与n级可逆矩阵Q,使得
-
n级矩阵A可逆的充分必要条件是存在一系列初等矩阵，使得
,可逆矩阵总可以通过一系列初等变化化成单位矩阵。
-
-
任何一个sxn矩阵A都与一个形式为矩阵等价，它称为矩阵的标准型，主对角线上1的个数等于矩阵A的秩。
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