统一配凑法解三角函数求值问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-07-22 19:56 被阅读0次

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使用情景：一类特殊三角求值类型

解题步骤：

第一步观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；

第二步利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转

化为已知条件中的三角函数值；

第三步利用三角恒等变换即可得出所求结果.

例2 若 $0<\alpha <\dfrac{\pi}{2}$ ， $-\dfrac{\pi}{2}<\beta<0$ ， $\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{3}$ ， $\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos \left(\alpha +\dfrac{\beta}{2}\right)=$ （）

A． $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

B． $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

C． $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

D． $-\dfrac{\sqrt{6}}{9}$

【解析】

$\because 0<\alpha <\dfrac{\pi}{2}$ ，
$\therefore \dfrac{\pi}{4}<\alpha+\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{3\pi}{4}$ ，且 $\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{3}$

$\therefore \sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1-\cos^2\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)}=\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

又 $\because -\dfrac{\pi}{2}<\beta<0$ ，
$\therefore \dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}<\dfrac{\pi}{2}$ ，且 $\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\therefore \cos \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}\right)=\sqrt{1-\sin^2 \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}\right)}=\sqrt{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

从而

$\cos \left(\alpha +\dfrac{\beta}{2}\right)$

$=\cos \left[\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)-\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}\right)\right]$

$=\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)\cos \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}\right)+\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}\right)$

$=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{\sqrt{6}}{3}+\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

故选C．

【总结】

本题重点考查了三角函数的两角和与差的三角公式，同角三角函数的基本关系式，属于基础题．已知角的三角函数值，求另外角的三角函数值，属于给值求值；这类题型关键在于：用已知角和特殊角将未知角表示出来，本题中，其关键就在于将角 $\alpha +\dfrac{\beta}{2}$ 表示成了 $\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)-\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}\right)$ 然后利用已知条件及余弦的差角公式即可求解，在求角的过程中一定要注意角的取值范围，利用平方关系时，一定要注意符号的判断，这是本题的易错点．