切割化弦法解三角函数求值问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-07-21 18:21 被阅读0次

切割化弦法解三角函数求值问题
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切割化弦解三角函数求值问题

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大.

方法一切割化弦

使用情景：一般三角求值类型

解题步骤：

第一步利用同角三角函数的基本关系 $\tan \theta=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$ ，将题设中的切化成弦的形式；

第二步计算出正弦与余弦之间的关系；

第三步结合三角恒等变换可得所求结果.

例1 已知 $\tan (\pi -\alpha)=-\dfrac{2}{3}$ ，且 $\alpha \in \left(-\pi,-\dfrac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\dfrac{\cos (-\alpha)+3\sin(\pi + \alpha)}{\cos(\pi - \alpha)+9\sin \alpha}$ 的值为（）

A． $-\dfrac{1}{5}$ B． $-\dfrac{3}{7}$ C． $\dfrac{1}{5}$ D． $\dfrac{3}{7}$

【答案】A

【解析】

$\tan (\pi -\alpha)=-\dfrac{2}{3} \Rightarrow \tan \alpha=\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{\cos (-\alpha)+3\sin(\pi + \alpha)}{\cos(\pi - \alpha)+9\sin \alpha}$

$=\dfrac{\cos \alpha-3\sin \alpha}{-\cos \alpha+9\sin \alpha}$

$=\dfrac{1-3\tan \alpha}{-1+9\tan \alpha}$

$=\dfrac{1-2}{-1+6}$

$=-\dfrac{1}{5}$

【总结】三角函数式的化简要遵循“三看”原则

（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等.

这是一类典型的“给角求值”问题，运用切化弦的思想，利用同角三角函数的基本关系即可达到求值的目的.

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