2015年第6届蓝桥杯Java B组省赛试题解析

1、三角形面积

如图1所示。图中的所有小方格面积都是1。
那么，图中的三角形面积应该是多少呢？
请填写三角形的面积。不要填写任何多余内容或说明性文字。

image.png

计算方法：
8 * 8 - （8 * 2 / 2 + 6 * 4 / 2 + 8 * 4 / 2）= 64 - (8+ 12 + 16) =64-36=28

2、立方变自身

观察下面的现象,某个数字的立方，按位累加仍然等于自身。
1^3 = 1
8^3 = 512 5+1+2=8
17^3 = 4913 4+9+1+3=17
...
请你计算包括1,8,17在内，符合这个性质的正整数一共有多少个？
请填写该数字，不要填写任何多余的内容或说明性的文字。

public class CubeEqual {
    public static void main(String[] args) {

        int count = 0;
        for (int i = 1; i < 100; i++) {
            int s = i * i * i;
            if (i == fun(s)) {
                System.out.println("i = " + i);
                System.out.println("s = " + s);
                System.out.println("fun(s) = " + fun(s));
                count++;
            }
        }
        System.out.println("count = " + count);
    }

    static int fun(int a) {
        if (a < 10) {
            return a;
        }
        return fun(a / 10) + a % 10;
    }
}

答案：6

3、三羊献瑞

观察下面的加法算式

image.png

其中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。
请你填写“三羊献瑞”所代表的4位数字（答案唯一），不要填写任何多余内容。

容易推测得到：
三 => 1
羊 => 0
祥 => 9

羊等于0，各个汉字不同，所以：生=瑞+1；

由于 
生+献=瑞 即： 瑞+1 +献=瑞 => 献等于8，或9，但是已经有祥等于9了，所献等于8.

辉和瑞相加一定大与等于10，由以上推出的数字可得：

辉，瑞 在[5,7 ] , [6, 7]两种可能之中。
大约四种情况：代入等式去试一下，就能得出答案。

答案：1085

4、循环节长度

两个整数做除法，有时会产生循环小数，其循环部分称为：循环节。
比如，11/13=6=>0.846153846153..... 其循环节为[846153] 共有6位。
下面的方法，可以求出循环节的长度。

请仔细阅读代码，并填写划线部分缺少的代码。

public static int f(int n, int m)
{
    n = n % m;  
    Vector v = new Vector();
    
    for(;;)
    {
        v.add(n);
        n *= 10;
        n = n % m;
        if(n==0) return 0;
        if(v.indexOf(n)>=0)  _________________________________ ;  //填空
    }
}

注意，只能填写缺少的部分，不要重复抄写已有代码。不要填写任何多余的文字。

答案: return v.size()-v.index(n)

这一题非常容易漏掉v.index(n); 主要的原因是，比如20/7，和200/7 的循环节其实是一样的，但是v.size()是不一样的。

5、 九数组分数

1,2,3…9 这九个数字组成一个分数，其值恰好为1/3，如何组法？

下面的程序实现了该功能，请填写划线部分缺失的代码。

public class A
{
    public static void test(int[] x)
    {
        int a = x[0]*1000 + x[1]*100 + x[2]*10 + x[3];
        int b = x[4]*10000 + x[5]*1000 + x[6]*100 + x[7]*10 + x[8];     
        if(a*3==b) System.out.println(a + " " + b);
    }

    public static void f(int[] x, int k)
    {
        if(k>=x.length){
            test(x);
            return;
        }

        for(int i=k; i<x.length; i++){
            {int t=x[k]; x[k]=x[i]; x[i]=t;}
            f(x,k+1);
            _______________________________________       // 填空
        }
    }

    public static void main(String[] args)
    {
        int[] x = {1,2,3,4,5,6,7,8,9};      
        f(x,0);
    }
}

咋一看，这一题好像很难，但是其实如果熟悉排列的写法，这题很简单。我们来看一下对一组数字进行排列的示例代码：

/**
 * 该类主要用户打印排列
 *
 * @author yunqing_shui@163.com
 */
public class Main {
    public static int count = 0;

    public static void main(String[] args) {
        int a[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12};
        per(a, 0, 4);
        System.out.println(count);
    }

    public static void swapTwoNumber(int a[], int i, int j) {
        if (i != j) {
            a[i] ^= a[j];
            a[j] ^= a[i];
            a[i] ^= a[j];
        }
    }

    /**
     * @param a
     * @param index 数组的起始位置
     * @param len   要排列的长度
     */
    public static void per(int a[], int index, int len) {
        if (index == len) {
            print(a, len);
        }
        for (int i = index; i < len; i++) {
            // 交换两个数
            swapTwoNumber(a, index, i);
            per(a, index + 1, len);
            // 交换两个数
            swapTwoNumber(a, index, i);
        }
    }

    public static void print(int a[], int len) {
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            System.out.print(a[i]);
        }
        count++;
        System.out.println();
    }
}

该题的题目意思很简单，由函数test(int[] x)得出，取出4个作为分子，取出五个作为分母。然后验证是否等于三分之一，所以本质上就是对9个数字作排列，前4个作为分子，后5个作为分母。那么分析到这里。就很简单了。我们对比以下排列的核心代码

   for (int i = index; i < len; i++) {
            // 交换两个数
            swapTwoNumber(a, index, i);
            per(a, index + 1, len);
            // 交换两个数
            swapTwoNumber(a, index, i);
        }

  for(int i=k; i<x.length; i++){
            {int t=x[k]; x[k]=x[i]; x[i]=t;}
            f(x,k+1);
            _______________________________________       // 填空
        }

就能得出横线部分就是交换数组中的两个数。

答案：{int t=x[k]; x[k]=x[i]; x[i]=t;}

6、加法变乘法

我们都知道：1+2+3+ … + 49 = 1225
现在要求你把其中两个不相邻的加号变成乘号，使得结果为2015

比如：
1+2+3+…+10 * 11+12+…+27*28+29+…+49 = 2015
就是符合要求的答案。

请你寻找另外一个可能的答案，并把位置靠前的那个乘号左边的数字提交（对于示例，就是提交10）。

注意：需要你提交的是一个整数，不要填写任何多余的内容。

这一题没有什么技术含量，暴力破解就行。

/**
 *
 * @author yunqing_shui@163.com
 */
public class Main6 {

    public static void main(String[] args) {
        int a[] = new int[49];
        for (int i = 0; i < 49; i++) {
            a[i] = i+1;
        }

        int b[] = new int[47];

        for (int x = 0; x < 46; x++) {
            for (int y = x + 2; y <= 48; y++) {

                for (int i = 0, j = 0; i < 47 && j < 49; i++, j++) {
                    if (i == x || i == y) {
                        int s = a[j] * a[j + 1];
                        b[i] = s;
                        j++;
                    } else {
                        b[i] = a[j];
                    }
                }

                if (sum(b) == 2015) {
                    System.out.println("x = " + (x+1));
                    System.out.println("y = " + (y+2));
                    System.out.println("Arrays.toString(a) = " + Arrays.toString(a));
                    System.out.println("Arrays.toString(b) = " + Arrays.toString(b));
                }
            }
        }

        System.out.println("sum = " + sum(b));
    }

    public static int sum(int a[]) {
        int s = 0;
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            s += a[i];
        }
        return s;
    }
}

答案：16

7、牌型种数

小明被劫持到X赌城，被迫与其他3人玩牌。
一副扑克牌（去掉大小王牌，共52张），均匀发给4个人，每个人13张。
这时，小明脑子里突然冒出一个问题：
如果不考虑花色，只考虑点数，也不考虑自己得到的牌的先后顺序，自己手里能拿到的初始牌型组合一共有多少种呢？

请填写该整数，不要填写任何多余的内容或说明文字。

在网上发现了dfs的方法，非常简洁

public class Seven3 {

    public static int ans = 0;

    static void dfs(int type, int sum) {
        if (sum > 13) return;
        if (type == 13) {
            if (sum == 13) ans++;
            return;
        }
        for (int i = 0; i < 5; i++) {
            dfs(type + 1, sum + i);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        dfs(0, 0);
        System.out.println("ans = " + ans);
    }
}

2、线性规划的解法

在网上看到有大神用线性规划来求解问题，佩服不已，代码简洁高效，贴出代码以供观摩。

public class Seven {

    public static void main(String[] args) {
        int[][] dp = new int[14][14];
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i < 14; i++)
            for (int j = 0; j < 14; j++)
                for (int k = 0; k < 5; k++)
                    if (j + k <= 13)
                        dp[i][j + k] += dp[i - 1][j];
        System.out.println(dp[13][13]);
    }
}

还有另外一种写法：

public class Seven2 {

    public static void main(String[] args) {
        int dp[][] = new int[14][14];
        dp[1][0] = dp[1][1] = dp[1][2] = dp[1][3] = dp[1][4] = 1;

        for (int i = 2; i <= 13; i++) {
            for (int j = 0; j <= 13; j++) {
                if (j - 4 >= 0) dp[i][j] += dp[i-1][j-4];
                if (j - 3 >= 0) dp[i][j] += dp[i-1][j-3];
                if (j - 2 >= 0) dp[i][j] += dp[i-1][j-2];
                if (j - 1 >= 0) dp[i][j] += dp[i-1][j-1];
                dp[i][j] += dp[i-1][j];
            }
        }
        System.out.println(dp[13][13]);
    }
}

主要的思路是：

假设牌是从1到13按顺序取的，dp[i][j]表示取到牌数为i的牌，j表示目前一共取了多少张牌。
比如d[3][4] ， 则i=3, j = 4 , 表示从A,2,3三种(i=3)牌中（每种4张，红桃、方块、黑桃、梅花）取出4（j=4）张 。
我们最重要的是确认递归方程：从第一张牌开始，每种牌都有5种可能：
1、这种牌取0个
2、这种牌取1个
3、这种牌取2个
4、这种牌取3个
5、这种牌取4个

首先我们需要推导出状态转换方程。

决策过程如下图：

决策过程

由上图我们看出:

  dp[1][0] = dp[1][1] = dp[1][2] = dp[1][3] = dp[1][4] = 1;

dp[2][0] = dp[1][0] =1 ;

image.png

由上图我们得到：
dp[2][1] = dp[1][0] +dp[1][1] ;

image.png

同样的对于dp[2][2]
dp[2][2] = dp[1][0] +dp[1][1]+dp[1][2] ;

image.png

dp[2][3] = dp[1][0] +dp[1][1]+dp[1][2]+d[1][3] ;

类似的：

dp[2][4] = dp[1][0] + dp[1][1] + dp[1][2] + dp[1][3] + d[1][4] ;
dp[2][5] = dp[1][1] + dp[1][2] + dp[1][3] + dp[1][4] + d[1][5] ;
说明：dp[1][5]为不可能事件，所以为0. dp[1][5]就是一种牌里取出5个的意思。

由此我们归纳得出状态转移方程如下（没有加限制条件）：

状态转移方程

得出转移方程，我们就知道如何决策了。d[13][13]即13种牌，取出13张的总数。

回头看一看代码，基本明白了作者的思路：

public class Seven2 {

    public static void main(String[] args) {
        int dp[][] = new int[14][14];
        dp[1][0] = dp[1][1] = dp[1][2] = dp[1][3] = dp[1][4] = 1;

        for (int i = 2; i <= 13; i++) {
            for (int j = 0; j <= 13; j++) {
                if (j - 4 >= 0) dp[i][j] += dp[i-1][j-4];
                if (j - 3 >= 0) dp[i][j] += dp[i-1][j-3];
                if (j - 2 >= 0) dp[i][j] += dp[i-1][j-2];
                if (j - 1 >= 0) dp[i][j] += dp[i-1][j-1];
                dp[i][j] += dp[i-1][j];
            }
        }
        System.out.println(dp[13][13]);
    }
}

第三种解法

以下是我的方法，思路是先求牌的个数，如单张的有多少个，对子有多少个，三个的有多少个，四个的有多少个，0个的有多少个。
然后求排列，比较繁琐一些，但是也能解决问题。

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

/**
 * @author yunqing_shui@163.com
 */
public class Main7 {
    public static int S = 0;

    public static void main(String[] args) {


        ArrayList<Integer> list0 = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            ArrayList<Integer> list1 = new ArrayList<>(list0);
            for (int j = 0; j < 5; j++) {
                ArrayList<Integer> list2 = new ArrayList<>(list1);
                for (int k = 0; k < 7; k++) {
                    ArrayList<Integer> list3 = new ArrayList<>(list2);
                    for (int l = 0; l < 14; l++) {
                        sumList(list3);
                        list3.add(1);
                    }
                    list2.add(2);
                }
                list1.add(3);
            }
            list0.add(4);
        }
        System.out.println("S = " + S);

    }

    public static void sumList(List<Integer> list) {
        int sum = 0;
        for (int i : list) {
            sum += i;
        }
        int a4 = 0;
        int a3 = 0;
        int a2 = 0;
        int a1 = 0;
        if (sum == 13) {
            for (int it : list) {
                if (it == 1) {
                    a1++;
                } else if (it == 2) {
                    a2++;
                } else if (it == 3) {
                    a3++;
                } else if (it == 4) {
                    a4++;
                }
            }
            int number = getCNM(13, a1) * getCNM(13 - a1, a2) * getCNM(13 - a1 - a2, a3) * getCNM(13 - a1 - a2 - a3, a4);
            S += number;
        }

    }

    public static int getANM(int a, int b) {
        int s = 1;
        for (int i = a; i > Math.max(b, a - b); i--) {
            s *= i;
        }
        return s;
    }

    public static int getCNM(int a, int b) {
        return getANM(a, b) / getN(Math.min(b, a - b));
    }

    public static int getN(int a) {
        if (a == 1 || a == 0) {
            return 1;
        }
        return a * getN(a - 1);
    }
}