什么是粗糙集(四)

作者: 思想永不平凡 | 来源:发表于2020-02-21 12:08 被阅读0次

    本节我们将继续介绍粗糙集有关的概念。



    本节将介绍经典粗糙集中粒度的度量相关概念。
    我们依旧使用这个决策信息系统为例。

    U a b c e f d
    1 0 1 1 1 0 1
    2 1 1 0 1 0 1
    3 1 0 0 0 1 0
    4 1 1 0 1 0 1
    5 1 0 0 0 1 0
    6 0 1 1 1 1 0
    7 0 1 1 1 1 0
    8 1 0 0 1 0 1
    9 1 0 0 1 0 0

    知识粒度

    知识粒度定义如下:
    给定一个决策信息系统S=(U,A=C \bigcup D,V,f)U为论域,若B \subseteq CU/B=\{X_{1},X_{2},...,X_{m}\},共有m个等价类,则B的知识粒度GP_{U}(B)为:
    GP_{U}(B)=\sum_{i=1}^{m} \frac{|X_{i}|^2}{|U|^2}
    在粗糙集中,等价类的粒度越细,其划分能力就越强,近似集越精确;否则划分能力就弱,近似集越粗糙。
    其中,\frac{1}{|U|} \leq GP_{U}(B) \leq 1。当U/B=\{X_{1},X_{2},...,X_{|U|} \}|U|U元素的个数,此时知识粒度最小\frac{1}{|U| },划分能力最强;当 U/B=\{U\},此时知识粒度最大1,划分能力最弱。

    例如,在上表中:
    U/C=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\}\}
    C的知识粒度为:
    GP_{U}(C)=\sum_{i=1}^{5}\frac{|X_{i}|^2}{|U|^2}
    = \frac{1^2+2^2+2^2+2^2+2^2}{9^2}
    =\frac{17}{81}
    相对知识粒度的定义如下:
    给定一个决策信息系统S=(U,A=C \bigcup D,V,f)U为论域,若P,Q \subseteq AU/P=\{X_{1},X_{2},...,X_{m} \}U/Q=\{Y_{1},Y_{2},...,Y_{n} \}。则Q关于P的相对知识粒度为
    GP_{U}(Q \mid P)=GP_{U}(P)-GP_{U}(P \bigcup Q)

    例如,在上表中,考虑条件属性集C,决策属性集D,有
    U/C=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\} \}

    U/C \bigcup D=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8\},\{9\} \}
    D关于C的相对知识粒度为
    GP_{U}(D \mid C)=GP_{U}(C)-GP_{U}(C \bigcup D)=
    =\frac{17}{81}-\frac{15}{81}=\frac{2}{81}
    GP_{U}(Q \mid P)表示Q相对于P的分类能力。GP_{U}(Q \mid P)值越大,表示Q相对于P对论域U分类能力越强;反之,分类能力越弱。

    属性重要度

    内部属性重要度定义如下:
    给定一个决策信息系统S=(U,A=C \bigcup D,V,f)U为论域,B \subseteq C,若\forall a \in B
    则属性a关于条件属性集B相对于决策属性集D的内部属性重要度为:
    Sig_{U}^{inner}(a,B,D)=GP_{U}(D \mid B-\{a\})-GP_{U}(D \mid B)
    以上表为例,考虑属性a关于条件属性集C相对于决策属性集D的内部属性重要度:
    Sig_{U}^{inner}(a,C,D)=GP_{U}(D \mid C-\{a\})-GP_{U}(D \mid C)
    =\{ GP_{U}(C-\{a\})-GP_{U}((C-\{a\}) \bigcup D) \}-\{GP_{U}(C)-GP_{U}(C \bigcup D)\}
    考虑C-\{a\}\{C-\{a\}\} \bigcup D

    U/(C-\{a\})=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8,9\} \}

    U/(\{C-\{a\}\} \bigcup D)=\{\{1\},\{2,4\},\{3,5\},\{6,7\},\{8\},\{9\} \}
    所以
    Sig_{U}^{inner}(a,C,D)=\{ \frac{17}{81}-\frac{15}{81}\} - \{\frac{17}{81}-\frac{15}{81} \}=0


    外部属性重要度定义如下:
    给定一个决策信息系统S=(U,A=C \bigcup D,V,f)U为论域,B \subseteq C,若\forall a \in (C-B)
    则属性a关于条件属性集B相对于决策属性集D的内部属性重要度为:
    Sig_{U}^{outer}(a,B,D)=GP_{U}(D \mid B)-GP_{U}(D \mid B \bigcup \{a\})
    还是以上表为例,若B=\{c,e,f\},考虑属性a关于条件属性集B相对于决策属性集D的内部属性重要度:
    Sig_{U}^{outer}(a,B,D)=GP_{U}(D \mid B)-GP_{U}(D \mid B \bigcup \{a\})
    =\{ GP_{U}(B)-GP_{U}(B\bigcup D)\} - \{ GP_{U}(B \bigcup \{a\})-GP_{U}((B\bigcup \{a\}) \bigcup D) \}
    考虑BB\bigcup DB \bigcup \{a\}(B\bigcup \{a\}) \bigcup D
    U/B=\{\{1\},\{2,4,8,9\},\{3,5\},\{6,7\}\}
    U/(B\bigcup D)=\{\{1\},\{2,4,8\},\{9\},\{3,5\},\{6,7\} \}
    U/(B \bigcup \{a\})=\{\{1\},\{2,4,8,9\},\{3,5\},\{6,7\}\}
    U/((B\bigcup \{a\}) \bigcup D)=\{\{1\},\{2,4,8\},\{9\},\{3,5\},\{6,7\} \}

    所以
    Sig_{U}^{outer}(a,B,D)=\{ \frac{17}{81}-\frac{15}{81}\} - \{\frac{17}{81}-\frac{15}{81} \}=0



    必要属性定义如下:
    给定一个决策信息系统S=(U,A=C \bigcup D,V,f)U为论域,如果Sig_{U}^{inner}(a,C,D)>0,则称属性a是决策信息系统条件属性集C相对于决策属性集D的必要属性。

    特别地,S的核属性被定义为
    Core_{C}(D)=\{a \in C \mid Sig_{U}^{inner}(a,B,D)>0 \}

    显然,属性a不是核属性。

    本文内容暂告一段落,之后将继续更新。



    本文参考了:

    • 景运革. 基于知识粒度的动态属性约简算法研究[D].西南交通大学,2017.

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