梯度为什么垂直等高线的切线

作者: joy1987 | 来源:发表于2020-03-27 20:48 被阅读0次

梯度

梯度是一个向量,每个分量是其中一个自变量的偏导, 他的模为该点因变量的变化率, 他的方向为方向导数最大的方向.

为什么一点的梯度方向和该点的等高线的切线垂直呢?

该山的形状可以用曲面函数 $z=F(x,y)$ 来表示, 等高线就是 $z$ 取不同值时平面和曲面x相截的曲线. 该曲线方程为:

$\begin{cases} z= F (x,y),\\ z= c \end{cases}$

这时 $F(x,y)=c$ 是隐函数,根据隐函数的求导方法, 该曲线任意一点的切线斜率为 $\frac{dy}{dx}$ .

由隐函数存在定理: $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}$

曲面 $z=F(x,y)$ 的任意一点的梯度为 $(\frac{\partial f}{\partial x} ,\frac{\partial f}{\partial y} )$ , 其中 $\frac{\partial f}{\partial x} = {F_x(x,y)} ,\frac{\partial f}{\partial y} ={F_y(x,y)}$

梯度目前是一个二维空间的向量，所以他的斜率为 $\frac{\partial f}{\partial y} /\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{F_y(x,y)}{F_x(x,y)}$

两个斜率相乘等于-1 ,所以他们垂直.

理解二:

曲面上一点的所有的切线都在该点的切平面里面, 切平面的法向量的分量为偏导数, 这个法向量必然垂直该点等高线的切线.

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