美文网首页高中数学纲目
函数与导数客观题：新高考数学全国卷题12

函数与导数客观题：新高考数学全国卷题12

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-06-29 23:15 被阅读0次

新高考数学全国卷题12

过平面内一点 P 作曲线 y= |\ln x| 的两条互相垂直的切线 l_1,l_2, 切点为 P_1,P_2 （ P_1,P_2 不重合），设直线 l_1,l_2 分别与 y 轴交于点 A,B ，则下列结论正确的是

A. P_1,P_2 两点的横坐标之积为定值

B. 直线 P_1P_2 的斜率为定值;

C. 线段 AB 的长度为定值

D. 三角形 \triangle ABP 面积的取值范围为 (0,1]

【解析】

y= |\ln x| 是一个分段函数：

x \in (0,1), y = - \ln x, \;y'= - \dfrac{1}{x};

x \in (1,+\infty), y = \ln x,\; y'=\dfrac{1}{x};

不妨设 P_1,P_2 分别为 l_1,l_2 上的切点，记切点坐标为 P_1(x_1, -\ln x_1), \; P_2(x_2, \ln x_2);

∵ 两条切线互相垂直， ∴ - \dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} = -1,

x_1 x_2 =1

所以，选项 A 正确；

∵ x_1 x_2 =1,

∴ -\ln x_1 = \ln x_2,

∴ 直线 P_1P_2 的斜率为 0,

选项 B 正确；

曲线 y= |\ln x| 有一个特殊点 (1,0), 若 x_1=x_2， 则 P_1,P_2, P 三点重合，相应的，k_1=-1, k_2=1;

此时，|AB|=2, \triangle PAB 是等腰直角三角形，且 S_{\triangle PAB} = 1.

当 P_1,P_2 不重合时有：0 \lt x_1 \lt 1 \lt x_2

切线 l_1 的方程为 y=-\dfrac{1}{x_1}(x-x_1) - \ln x_1,

切线 l_2 的方程为 y=-\dfrac{1}{x_1}(x-x_2) - \ln x_2,

y_{_A}=1-\ln x_1,

y_{_B}=-1+\ln x_2,

|y_{_A} - y_{_B} | = 2.

∴ 选项 C 正确；

x_1 与 x_2 互为倒数，x_1 \rightarrow0, x_2 \rightarrow +\infty,

x_2 不断增大，则切线 l_2 的倾角趋近于 0;

切线 l_2 与 y 轴的夹角趋近于 90°，

记此夹角为 \beta, 则 S_{\triangle PAB} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \sin\beta\cdot 2\cos\beta=\sin2\beta

所以，x_1 \rightarrow0, x_2 \rightarrow +\infty,\; S_{\triangle PAB}\rightarrow 0,

选项 D 正确.

结论：ABCD 都是正确选项.

【提炼与提高】

难度不高，工作量加大。

数形结合，要求考生灵活处理。

相关文章

网友评论

    本文标题：函数与导数客观题：新高考数学全国卷题12

    本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/rrgxbrtx.html

    延伸阅读

    深度阅读

    • 您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

    栏目导航

    热点阅读

    高中数学纲目

    关于我们|服务条款|联系我们|函数与导数客观题：新高考数学全国卷题12|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

    提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

    Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网 版权所有

    备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

    本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

    所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！