数学的发现与直觉

我们使用的数学教材是通过把已知的概念、公理、定理，经过逻辑推导，步步有据地论证，通过逻辑顺序来组织的；老师再按照这样的逻辑规则来讲授，学生按照逻辑要求来练习，这对学生的逻辑思维能力的培养自然时有好处的。我觉得注意力可能有点过多的放到了数学的逻辑思维和演绎推理上了。因为在数学结论的天才发现与数学方法的策略创造中，不仅有显露的、可证实的逻辑推理，而且有大量的非逻辑的、潜意识的思维活动，绝不缺乏直觉猜想、直觉预见或者瞬间顿悟。数学的学习不应该只是教材中的知识、只求学会课本知识的表述，更应该注重数学的思想与方法。注重培养数学的创造力，除了逻辑推理能力的训练，非逻辑的形象思维与直觉思维是绝对不可忽视的。

让我们向顶尖的数学家看齐，看看他们的体会：

• “数学王子”高斯就多次说过，自己的数学发现多半是来自经验，证明只是补行的手续。
• “全能的数学家”庞加莱说：逻辑用于证明，直觉用于发明。
• 笛卡尔坦言：逻辑不过是把明白的东西告诉人们而已。

数学直觉像是数学思维的“感觉”，能够认识事物的本质和规律。数学思维越是发达，数学直觉也越丰富和奇妙。数学家的数学研究中充满了扣人心弦的直觉、顿悟和灵感。可惜的是：数学文献和论文的记录大多是完整的描述了逻辑思维过程，而数学家最初的“感觉”和生动的过程，随着岁月而流逝了。如果说数学对象(概念、定理等)的发现过程和数学对象的逻辑陈述硬是要剥离，只是了解逻辑思维这一方面，忽略直觉思维这本身就不明智啊。

数学的发现时常表现为顿悟，而其特征则为“简洁、突然和直接可靠”。顿悟的显现是先前长期无意识工作的明显征兆。为使无意识的思维活动成为可能并富有成果，一方面应当有意识的工作在它前面；另一方面是有意识的工作尾随其后，所以总的来讲数学的发现应该由准备、酝酿、顿悟、检验这四个阶段。

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