利用函数性质解含参不等式的恒成立问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-01-19 21:19 被阅读0次

利用函数性质解含参不等式的恒成立问题
用分离参数法解含参不等式的恒成立问题
根据方程根的大小讨论含参一元二次不等式的解
利用判别式法解含参不等式的恒成立问题
高中数学题型五十六《解不等式》
单调性和奇偶性
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表征模式4:奇函数求参与切线方程结合考察

利用函数性质解含参不等式的恒成立问题

方法二函数性质法

使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型

解题步骤：

第一步首先可以把含参不等式整理成适当形式如 $f(x,a) \geqslant 0$ 、 $f(x,a)<0$ 等；

第二步从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；

第三步得出结论.

【例】已知函数 $f(x)=ax^3-\dfrac{3}{2}x^2+1 (x\in R)$ ，其中 $a>0$ . 若在区间 $\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$ 上， $f(x)>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

【解】 $\because f'(x)=3ax^2-3x$ ，令 $f'(x)=0$ ，解得 $x=0$ 或 $x=\dfrac{1}{a}$ .

(1)若 $0<a \leqslant 2$ ，则 $\dfrac{1}{a} \geqslant \dfrac{1}{2}$

于是当 $-\dfrac{1}{2}<x<0$ 时， $f'(x)>0$ ；

当 $0<x<\dfrac{1}{2}$ 时， $f'(x)<0$ 。

所以当 $x=0$ 时，有极大值。

于是 $x \in \left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$ 时， $f(x)>0$ 等价于 $\begin{cases}f\left(-\dfrac{1}{2}\right)>0 \\f\left(\dfrac{1}{2}\right)>0 \end{cases}$

解得 $0<a \leqslant 2$

(2)若 $a>2$ ，则 $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{2}$ ，

于是当 $-\dfrac{1}{2}<x<0$ 时， $f'(x)>0$ ；

当 $0<x<\dfrac{1}{a}$ 时， $f'(x)<0$ 。

所以当 $x=0$ 时， $f(x)$ 有最大值，

当 $x=\dfrac{1}{a}$ 时， $f(x)$ 有最小值。

于是 $x \in \left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$ 时， $f(x)>0$ 等价于 $\begin{cases}f\left(-\dfrac{1}{2}\right)>0 \\f\left(\dfrac{1}{a}\right)>0 \end{cases}$

解得 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}<a<5$ 或 $a<-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ，因此 $2<a<5$

综合(1)(2)得 $0<a<5$ .

【总结】对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，我们可以把含参不等式整理成适当形式如 $f(x,a) \geqslant 0$ 、 $f(x,a)<0$ 等，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值. 在解题过程中常常要用到如下结论：

（1）如果 $f(x,a)$ 有最小值 $g(a)$ ，则 $f(x,a)>0$ 恒成立 $\Leftrightarrow g(a)>0$ ， $f(x,a)\geqslant 0$ 恒成立 $\Leftrightarrow g(a)\geqslant 0$ ；

（2）如果 $f(x,a)$ 有最大值 $g(a)$ ，则 $f(x,a)<0$ 恒成立 $\Leftrightarrow g(a)<0$ ， $f(x,a)\leqslant 0$ 恒成立 $\Leftrightarrow g(a)\leqslant 0$ ；

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