利用判别式法解含参不等式的恒成立问题

利用判别式法解含参不等式的恒成立问题

方法三 判别式法

使用情景：含参数的二次不等式

解题步骤：

第一步 首先将所求问题转化为二次不等式；

第二步 运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；

第三步 得出结论.

【例1】 设，当时，恒成立，求实数的取值范围.

【解】设，

则当时，恒成立；

当即时，显然成立；

当时，如图，恒成立的充要条件为

解得。

综上可得实数的取值范围为.

【总结】一般地，对于二次函数,有

1）对恒成立；

2）对恒成立 .

【例2】 若为二次函数，和是方程的两根，.

（1）求的解析式；

（2）若在区间上，不等式有解，求实数的取值范围.

【解】

（1）设二次函数，

由可得，

故方程可化为，

和是方程的两根，

由韦达定理可得

,

，

解得，

故的解析式为；

（2）在区间上，不等式有解，

在区间上有解，

故只需小于函数在区间上的最大值，

由二次函数可知当时，函数取最大值,

实数的取值范围为.

【总结】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考查一元二次不等式的解法，对于一元二次不等式在给定区间上有解问题，可以采用分离参数法，转化为来求参数的取值范围，另外，对于不等式恒成立、能成立问题，都要寻求等价的转化关系来解题.