3.基本初等函数

作者: 阿咚老师 | 来源:发表于2018-09-09 09:42 被阅读0次

一.指数运算

课堂练习

计算
（1） $\sqrt[4]{81\times \sqrt{9^{\frac{2}{3}}}}$

（2） $\left(\sqrt[3]{5} -\sqrt{125}\right) \div \sqrt[4]{5}$

（3） $\frac{5^{2} \cdot \sqrt[5]{5^{3}}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[10]{5^{7}}}$

（4） $\left( 2\frac{3}{5}\right)^{0} +2^{-2} \cdot \left( 2\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} -0.01^{0.5}$
化简
（1） $a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}$

（2） $\sqrt[3]{xy^{2} \cdot \sqrt{xy^{-1}}} \cdot \sqrt{xy}$
已知 $a^{\frac{1}{2}} +a^{-\frac{1}{2}} =3$ ,求下列各式的值.
（1） $a+a^{-1}$
（2） $a^{2} +a^{-2}$
（3） $\frac{a^{\frac{3}{2}} -a^{-\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} -a^{-\frac{1}{2}}}$

课后练习

若 $\sqrt[4]{4a^{2} -4a+1} =\sqrt[3]{1-2a}$ ,则实数 $a$ 的取值范围为___________.
$\sqrt{5+2\sqrt{6}} +\sqrt{7-4\sqrt{3}} -\sqrt{6-4\sqrt{2}}$
化简
（1） $\left(\sqrt{a-1}\right)^{2} +\sqrt{( 1-a)^{2}} +\sqrt[3]{( 1-a)^{3}}$

（2） $\left( a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{2}}\right)\left( -3a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}\right) \div \left(\frac{1}{3} a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{6}}\right)$

（3）当 $x< \frac{3y}{2}$ 时,化简 $\sqrt[6]{\left( 4x^{2} -12xy+9y^{2}\right)^{3}}$

（4） $\left( 1+\sqrt{2}\right)^{-1} +\left(\sqrt{2} +\sqrt{3}\right)^{-1} +\left(\sqrt{3} +2\right)^{-1} +\cdot \cdot \cdot +\left(\sqrt{n} +\sqrt{n+1}\right)^{-1}$
计算 $8^{\frac{2}{3}} \cdot 100^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}}$
计算 $\left( 2\frac{2}{5}\right)^{0} +2^{-2} \cdot \left( 2\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} -( 0.01)^{0.5}$
化简 $\sqrt[3]{a^{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{a^{-3}}} \cdot \sqrt{\left( a^{-5}\right)^{-\frac{1}{2}}\left( a^{-\frac{1}{2}}\right)^{13}}$

二.指数函数

题型一:指数函数概念

下列函数一定是指数函数的是___________.
A.形如 $y=a^{x}$ 的函数
B.形如 $y=x^{a}\left( a >\text{0,} a\neq 1\right)$ 的函数
C.函数 $y=(| a| +2)^{-x}( a\in R)$
D.函数 $y=3a^{x}\left( a >\text{0,} a\neq 1\right)$
函数 $y=\left( a^{2} -3a+3\right) a^{x}$ 是指数函数,则有___________.
A. $a=1$ ,或 $a=2$
B. $a=1$
C. $a=2$
D. $a >0$ ,且 $a\neq 1$

题型二:指数函数的定义域,值域

函数 $y=\frac{1}{\sqrt{3^{x+1} -1}}$ 的定义域为___________.
函数 $y=( x-5)^{0} +( x-2)^{-\frac{1}{2}}$ 的定义域为___________.
当 $-1\leq x\leq 1$ 时,函数 $y=2^{x} -2$ 的值域为___________.
函数 $f( x) =\left(\frac{1}{3}\right)^{x^{2} -2x}$ 的值域为___________.

题型三:指数函数的图象

若直线 $y=2a$ 与函数 $y=\left| a^{x} -1\right| \left( a >\text{0,} a\neq 1\right)$ 的图像有两个公共点,则 $a$ 的取值范围是___________.

题型四:单调性应用

已知 $a=3^{0.2} ,b=0.2^{-3} ,c=3^{-0.2}$ ,则 $a,b,c$ 三者的大小关系是___________.
函数 $f( x) =x^{2} -bx+c$ 满足 $f( 1+x) =f( 1-x)$ ,且 $f( 0) =3$ ,则 $f\left( b^{x}\right)$ 与 $f\left( c^{x}\right)$ 的大小关系是___________.

课后练习

下列四个函数中,值域是 $\left(\text{0,} +\infty \right)$ 的函数是___________.
A. $y=2^{\frac{1}{x}}$
B. $y=\sqrt{2^{x} -1}$
C. $y=\sqrt{2^{x} +1}$
D. $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{2-x}$
若 $-1< x< 0$ ,那么下列各不等式成立的是___________.
A. $2^{-x} < 2^{x} < 0.2^{x}$
B. $2^{x} < 0.2^{x} < 2^{-x}$
C. $0.2^{x} < 2^{-x} < 2^{x}$
D. $2^{x} < 2^{-x} < 0.2^{x}$
若 $0< a< 1$ ,则下列不等式正确的是___________.
A. $( 1-a)^{\frac{1}{3}} >( 1-a)^{\frac{1}{2}}$
B. $( 1+a)^{\frac{1}{2}} < ( 1-a)^{\frac{1}{2}}$
C. $( 1-a)^{\frac{1}{3}} >( 1+a)^{\frac{1}{3}}$
D. $( 1-a)^{1+a} >1$
已知实数 $a,b$ 满足等于 $\left(\frac{1}{2}\right)^{a} =\left(\frac{1}{3}\right)^{b}$ ,下列五个关系式:
（1） $0< b< a$
（2） $a< b< 0$
（3） $0< a< b$
（4） $b< a< 0$
（5） $a=b$
其中不可能成立的关系式有___________.
若 $x\in \left(\text{2,} 4\right)$ , $a=2^{x^{2}}$ , $b=2^{2^{x}}$ , $c=2^{2x}$ 则 $a,b,c$ 的大小关系是___________.
函数 $y=\left(\frac{2}{5}\right)^{-x^{2} -4x}$ 的单调区间为___________.
已知函数 $f( x) =|2^{x} -\text{1|}$ , $a< b< c$ ,且 $f( a) >f( c) >f( b)$ 则有___________.
A. $a< \text{0,} b< \text{0,} c< 0$
B. $a< \text{0,} b\geq \text{0,} c >0$
C. $2^{-a} < 2^{c}$
D. $2^{a} +2^{c} < 2$
设函数 $f( x)$ 定义在实数集上,它的图象关于直线 $x=1$ 对称,且当 $x\geqslant 1$ 时, $f( x) =3^{x} -1$ ,则有___________.
A. $f\left(\frac{1}{3}\right) < f\left(\frac{3}{2}\right) < f\left(\frac{2}{3}\right)$
B. $f\left(\frac{2}{3}\right) < f\left(\frac{3}{2}\right) < f\left(\frac{1}{3}\right)$
C. $f\left(\frac{2}{3}\right) < f\left(\frac{1}{3}\right) < f\left(\frac{3}{2}\right)$
D. $f\left(\frac{3}{2}\right) < f\left(\frac{2}{3}\right) < f\left(\frac{1}{2}\right)$
若函数 $f( x) =\sqrt{2^{x^{2} -2ax-a} -1}$ 的定义域为 $R$ ,则实数 $a$ 的取值范围是___________.
关于 $x$ 的方程 $\left(\frac{3}{4}\right)^{x} =\frac{3a+2}{5-a}$ 有负根,则 $a$ 的取值范围为___________.
函数 $f( x) =a^{x}( a >0a\neq 1)$ 在区间 $\left[\text{1,} 2\right]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{3}{4}$ ,求 $a$ 的值.
已知函数 $y=a^{2x} +2a^{x} -1( a >1)$ .在区间 $\left[ -\text{1,} 1\right]$ 上的最大值是14,求 $a$ 的值.
已知函数 $f( x) =\frac{a^{x} -1}{a^{x} +1}$ .
（1）当 $x\geqslant 0$ 时,求函数 $f( x)$ 的值域;
（2）当 $a >1$ 时,判断并证明函数 $f( x)$ 的单调性.
已知 $x,y\in R$ ,且 $2^{x} +3^{y} >2^{-y} +3^{-x}$ ,求证: $x+y >0$ .

三.对数运算

题型一:指数式与对数式互化及其应用

求下列各式中的 $x$
（1） $\log_{8} x=-\frac{2}{3}$

（2） $\log_{x} 27=\frac{3}{4}$

（3） $\log_{2}(\log_{5} x) =0$

（4） $\log_{3}(\lg x) =1$
（1）求 $\log_{8} 4$ 的值;

（2）已知 $\log_{a} 2=m$ , $\log_{a} 3=n$ ,求 $a^{2m+n}$ 的值.

题型二:对数的概念与对数运算性质的理解

对于 $a >0$ , $a\neq 1$ ,下列说法中正确的是___________.
（1）若 $M=N$ ,则 $\log_{a} M=\log_{a} N$
（2）若 $\log_{a} M=\log_{a} N$ ,则 $M=N$
（3）若 $\log_{a} M^{2} =\log_{a} N^{2}$ ,则 $M=N$
（4）若 $M=N$ ,则 $\log_{a} M^{2} =\log_{a} N^{2}$
计算下列各式的值:
（1） $\frac{1}{2}\lg 25+\lg 2+\lg\sqrt{10} +\lg( 0.01)^{-1}$

（2） $\frac{\lg\sqrt{2} +\lg 3-\lg\sqrt{10}}{\lg 1.8}$

（3） $7^{1-\log_{7} 5}$

（4） $100^{\left(\frac{1}{2}\lg 9-\lg 2\right)}$

题型三:求值问题

设 $a=\lg\left( 1+\frac{1}{7}\right)$ , $b=\lg\left( 1+\frac{1}{49}\right)$ ,用 $a,b$ 表示 $\lg 2$ , $\lg 7$ .
设 $3^{a} =4^{b} =36$ ,求 $\frac{2}{a} +\frac{1}{b}$ 的值.

题型四:换底公式的应用

计算 $7^{\log_{7} 6\cdot \log_{6} 5\cdot \log_{5} 4} =$ ___________.
已知 $\lg 2=a$ , $\lg 3=b$ ,那么 $\log_{3} 6=$ ___________.

课后练习

将下列对数式化为指数式:
（1） $\log_{2} 16=4$

（2） $\log_{\frac{1}{3}} 27=-3$

（3） $\log_{\sqrt{3}} x=6$

（4） $\log_{x} 64=-6$
将下列指数式化为对数式:
（1） $5^{4} =625$

（2） $3^{-2} =\frac{1}{9}$

（3） $a^{\frac{1}{2}} =\sqrt{a}$

（4） $\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} =16$
$\log_{\sqrt{n+1} +\sqrt{n}}\left(\sqrt{n+1} -\sqrt{n}\right) =$ ___________.
已知 $\log_{7}[\log_{3}(\log_{2} x)] =0$ ,那么 $x^{-\frac{1}{2}} =$ ___________.
已知 $\log_{8} 9=a$ , $\log_{2} 5=b$ ,则 $\lg 3=$ ___________.
若 $2.5^{x} =\text{1000}$ , $0.25^{y} =\text{1000,}$ 则 $\frac{1}{x} -\frac{1}{y} =$ ___________.
已知 $x^{2} +y^{2} =1$ , \ , $y >0$ ,且 $\log_{a}( 1+x) =m$ , $\log_{a}\frac{1}{1-x} =n$ ,则 $\log_{a} y=$ ___________.
已知 $\lg x+\lg y=\text{2}\lg( x-2y)$ ,则 $\log_{\sqrt{2}}\frac{x}{y} =$ ___________.
如果方程 $\lg^{2} x+(\lg 5+\lg 7)\lg x+\lg 5\cdot \lg 7=0$ 的两根是 $\alpha ,\beta$ ,则 $\alpha \beta$ 的值是___________.
求下列各式的值:
（1） $\lg 5^{2} +\frac{2}{3}\lg 8+\lg 5\cdot \lg 20+(\lg 2)^{2}$

（2） $\log_{2}\sqrt{8+4\sqrt{3}} +\log_{2}\sqrt{8-4\sqrt{3}}$

（3） $3^{\log_{3}\sqrt{5}} +\sqrt{3}^{\log_{3}\frac{1}{5}}$

（4） $\frac{\log_{5}\sqrt{2} \cdot \log_{7} 9}{\log_{5}\frac{1}{3} \cdot \log_{7}\sqrt[3]{4}} +\log_{2^{2}}\left(\sqrt{3+\sqrt{5}} -\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)$
已知 $a,b,x$ 为正数,且 $\lg( bx) \cdot \lg( ax) +1=0$ ,求 $\frac{a}{b}$ 的取值范围.

四.对数函数

题型一:对数函数的定义域,值域

求下列函数的定义域:
（1） $y=\log_{a}( 6x-5)$

（2） $y=\frac{\sqrt{\log_{\frac{1}{2}} x-1}}{4x-1}$
求下列函数的值域:
（1） $y=\log_{2}\left( x^{2} +4\right)$

（2） $y=\log_{\frac{1}{2}}\left( 3+2x-x^{2}\right)$

题型二:对数函数图象问题

方程 $\log_{2}( x+4) =3^{x}$ 的实根的个数为___________.

题型三:单调性应用

比较下列各组数中两个值的大小:
（1） $\log_{3} 3.4$ , $\log_{3} 8.5$

（2） $\log_{0.2} 1.8$ , $\log_{0.2} 2.7$

（3） $\log_{a} 5.6$ , $\log_{a} 5.9$

（4） $\log_{3} 2$ , $\log_{5} 2$

（5） $\log_{3} 0.5$ , $\log_{0.6} 0.1$

（6） $\log_{3} 4$ , $\log_{19} 18$
设 $1< x< d,a=(\log_{d} x)^{2} ,b=\log_{d} x^{2} ,c=\log_{d}(\log_{d} x)$ ,将 $a,b,c$ 按大小顺序排列.

课后练习

已知 $f\left( x^{6}\right) =\log_{2} x,$ 那么 $f( 8) =$ ___________.
设 $f( x) =\left\{\begin{array}{ c } 2^{-x} ,x\in ( -\infty ,1)\\ \log_{81} x,x\in \left(\text{1,} +\infty \right) \end{array}\right.$ ,则满足 $f( x) =\frac{1}{4}$ 的 $x$ ___________.
函数 $f( x) =\log_{( 2x-1)}\sqrt{3x-2}$ 的定义域是___________.
函数 $y=\log_{\frac{1}{2}} x,x\in \text{(0,8]}$ 的值域是___________.
下列各组函数中,表示同一函数的是___________.
A. $y=\sqrt{x^{2}}$ 和 $y=\left(\sqrt{x}\right)^{2}$
B. $y=x$ 和 $y=\sqrt{x^{2}}$
C. $y=\log_{a} x^{2}$ 和 $y=\text{2}\log_{a} x$
D. $y=x$ 和 $y=\log_{a} a^{x}$
设 $\log_{a}\frac{2}{3} < 1$ ,则实数 $a$ 的取值范围是___________.
已知 $f( x)$ 为奇函数,当 $x\in \left(\text{0,} +\infty \right)$ 时, $f( x) =\lg( x+1)$ ,则当 $x\in ( -\infty ,0)$ 时, $f( x) =$ ___________.
设 $f( x) =\lg\left(\frac{2}{1-x} +a\right)$ 是奇函数,则使 $f( x) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是___________.
函数 $y=\log_{\frac{1}{2}}\left( 4x-x^{2}\right)$ 的值域是___________.
函数 $f( x) =\sqrt{(\lg x)^{2} -\lg x^{2} -3}$ 的定义域为___________.
函数 $f( x) =\log_{2}\frac{1}{-x^{2} +2x+3}$ 的值域为___________.
已知函数 $f( x) =\log_{2}\left[ ax^{2} +( a-1) x+\frac{1}{4}\right]$ 的值域为 $R$ ,则实数 $a$ 取值范围是___________.
设 $0< a< 1$ ,函数为 $f( x) =\log_{a}\left( a^{2x} -2a^{x} -2\right)$ ,则使 $f( x) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是___________.
已知 $f( x)$ 是偶函数,且在 $\text{[0,} +\infty \text{)}$ 上是减函数,若 $f(\lg x) >f( 1)$ ,则 $x$ 的取值范围是___________.
已知 $y=\log_{a}( 2-ax)$ 在 $\left[\text{0,} 1\right]$ 是减函数,则 $a$ 的取值范围是___________.
函数 $y=(\log_{\frac{1}{3}} x)^{2} +\log_{\frac{1}{3}} x$ 的单调递减区间为___________.
函数 $f( x) =\log_{a}\frac{2x+1}{x-1}$ 的图象恒过定点 $P$ ,则 $P$ 点坐标为___________.
已知 $0< a< \text{1,} 0< b< 1$ ,如果 $a^{\log_{b}( x-3)} < 1$ ,那么 $x$ 的取值范围是___________.
当 $x\in \left(\text{1,} 2\right)$ 时,不等式 $( x-1)^{2} < \log_{a} x$ 恒成立,则 $a$ 的取值范围是___________.
设 $a >\text{0,} a\neq 1$ ,函数 $f( x) =\log_{a}\left( x^{2} -2x+3\right)$ 有最小值,则不等式 $\log_{a}( x-1) >0$ 的解集为___________.
已知函数 $f( x) =\left\{\begin{array}{ c } |\lg x|,0< x\leq 10\\ -\frac{1}{2} x+\text{6,} x >10 \end{array}\right.$ ,若 $a,b,c$ 互不相等,且 $f( a) =f( b) =f( c)$ ,则 $abc$ 的取值范围是___________.
已知函数 $f( x) =\log_{a}\frac{x+b}{x-b}$ （ $a >\text{0,} b >\text{0,}$ 且 $a\neq 0$ ）.
（1）求 $f( x)$ 的定义域;
（2）判断函数 $y=f( x)$ 的奇偶性;
（3）讨论 $f( x)$ 的单调性.
讨论函数 $f( x) =\log_{a}\left( 3x^{2} -2x-1\right)$ 的单调性.
已知函数 $f( x) =\log_{\frac{1}{2}}\left( x^{2} -ax+3a\right)$ 在区间 $\left[\text{2,} +\infty \right)$ 上为减函数,求 $a$ 的取值范围.
画出下列函数的图象:
（1） $f( x) =\log_{2}( x-1)$

（2） $f( x) =|\log_{2}( x+2) |$

（3） $f( x) =\log_{2} |x-\text{2|}$

（4） $f( x) =|\log_{2} |1-x||$

（5） $y=|\log_{2}( x+1) |+2$
若 $x$ 满足 $\frac{1}{27} \leq x\leq 9$ ,求 $f( x) =\log_{3}\frac{x}{27} \cdot \log_{3}( 3x)$ 的最大值和最小值．
已知 $f\left( e^{x}\right) =x^{2} -2x+3( 2\leq x\leq 3)$ .
（1）求 $f( x)$ 的解析式和定义域;
（2）求 $f( x)$ 的最值.

五.幂函数

题型一:幂函数的定义域和值域

下列函数中,定义域和值域不同的是___________.
A. $y=x^{\frac{1}{3}}$
B. $y=x^{\frac{1}{2}}$
C. $y=x^{\frac{5}{3}}$
D. $y=x^{\frac{2}{3}}$

题型二:奇偶性的判断

判断下列函数的奇偶性
（1） $y=x^{\frac{1}{3}}$

（2） $y=x^{\frac{2}{3}}$

（3） $y=x^{-2}$

（4） $y=x^{\frac{1}{2}}$

（5） $y=x^{-\frac{3}{2}}$

题型三:幂函数的单调性

求函数 $y=\frac{1}{2x^{\frac{2}{3}} -1}$ 的递减区间

题型四:比较大小

比较下列各组数的大小
（1） $3^{-\frac{5}{2}}$ 和 $3.1^{-\frac{5}{2}}$

（2） $-8^{-\frac{7}{8}}$ 和 $-\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{7}{8}}$

（3） $1.1^{\frac{3}{4}}$ , $1.4^{\frac{3}{4}}$ 和 $1.1^{\frac{2}{3}}$

六.函数图象

画函数图象

$y=-x+2$
$y=2x-3$
$y=\frac{2}{x}$
$y=-\frac{3}{x}$
$y=\frac{5x+2}{2x+1}$
$y=\frac{x+2}{2-x}$
$y=x^{2} +3x+4$
$y=-x^{2} +2x+3$
$y=x^{2} -2x+1$
$y=x+\frac{1}{x}$
$y=2x+\frac{1}{x}$
$y=x-\frac{1}{x}$
$y=| x+1| +| x-1|$
$y=| x+2| -| x-2|$
$y=\left| x^{2} +2x-3\right|$
$y=x^{2} +2| x| +1$
$y=\left\{\begin{array}{ c } x^{2} +1(| x| \geq 1)\\ x(| x| < 1) \end{array}\right.$
在同一坐标系下画以下函数图像:
（1） $y=2^{x} ,y=-2^{x} ,y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$

（2） $y=2^{x} ,y=2^{x+1} ,y=2^{x+1} -2$

（3） $y=x,y=x^{2} ,y=x^{3} ,y=x^{\frac{1}{2}} y=x^{\frac{1}{3}} ,y=x^{-1}$
$y=\log_{2} x$
$y=\ln\frac{1}{x}$
$y=\lg( x+1)$
$y=\log_{\frac{1}{2}} x$
$y=\log_{\frac{1}{2}}( x-1) +2$
$y=\lg x^{2}$

课后练习

函数 $y=e^{|\ln x|} -|x-\text{1|}$ 的图象大致是___________.
函数 $y=\frac{1}{2x+3}$ 的图象向右平移 $2$ 个单位所得图形表示的函数是___________.
将 $y=\frac{1}{x}$ 的图象变换至函数 $y=\frac{x+3}{x+2}$ 的图象需先向_______平移_______个单位,再向________平移
_______个单位.
函数 $f( 2x-3)$ 的图象,可由 $f( 2x+3)$ 的图象经过下述变换得到___________.
A.向左平移 $6$ 个单位
B.向右平移 $6$ 个单位
C.向左平移 $3$ 个单位
D.向右平移 $3$ 个单位
已知 $f( x)$ 是偶函数,则 $f( x+2)$ 的图像关于__________对称;已知 $f( x+2)$ 是偶函数,则函数 $f( x)$ 的图像关于____________对称.
将奇函数 $y=f( x)$ 的图象沿着 $x$ 轴的正方向平移2个单位得到图象C,图象D与C关于原点对称,则D对应的函数是___________.
A. $y=-f( x-2)$
B. $y=f( x-2)$
C. $y=-f( x+2)$
D. $y=f( x+2)$
将函数 $y=| x|$ 的图象向_______平移_______个单位就得到函数 $y=| x+1|$ 的图象,再将所得到的图象向_______平移_______个单位就得到函数 $y=| x-1|$ 的图象.
已知函数 $f( x)$ 的图像关于直线 $x=-1$ 对称,且当 $x\in \left(\text{0,} +\infty \right)$ 时,有 $f( x) =\frac{1}{x}$ ,则当 $x\in ( -\infty ,-2)$ 时, $f( x)$ 的解析式是___________.
方程 $2^{| x| } +x=2$ 的实根个数为___________.
试讨论方程 $| 1-x| =kx$ 的实数根的个数.
设函数 $f( x) =x^{3} +2x^{2}$ ,若函数 $g( x)$ 的图象与 $f( x)$ 的图象关于点 $\left(\text{2,} 1\right)$ 对称,求 $g( x)$ 的解析式.
画出函数 $y=\left| 3^{x} -1\right|$ 的图象,并根据图象探究 $k$ 为何值时,关于 $x$ 的方程 $\left| 3^{x} -1\right| =k$ 无解？有一解？有两解？
若 $1< x< 3$ , $a$ 为何值时, $x^{2} -5x+3+a=0$ 有两解, 一解, 无解?