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线性代数,矩阵交换律

线性代数,矩阵交换律

作者: 天使的白骨_何清龙 | 来源:发表于2018-12-27 09:22 被阅读0次

#定律:

* 对于矩阵表示,__(括号)__ 可以在矩阵中任意位置做绑定

E_{32} * \left( E_{21} * A \right) = U\Rightarrow\left( E_{32} * E_{21} \right) * A = U

* 举例:

方程组  \begin{cases}x+2y+z=2\\3x+8y+z = 12\\4y+z=2\\\end{cases} $转换为矩阵(A x = b)可以得到:  A_{left}=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\3 & 8 & 0 \\0 & 4 & 1 \\\end{matrix}\right], x_{未知数}=\left[\begin{matrix}x\\ y\\  z\\\end{matrix}\right],    b=\left[\begin{matrix}2\\ 12\\ 2\\\end{matrix}\right]

带入矩阵后,对A进行消元(delimulation, pivot->元),然后再把消元后的矩阵回代(back substitution)方程组,可以求解出x,y,z的结果。

# 举例

## 1.一般方程组带入矩阵后消元:

A_{左边}=\left[\begin{matrix}1,first_{pivot} & 2 & 1 \\3 & 8 & 1 \\0 & 4 & 1 \\\end{matrix}\right],

* __第一行对第二行消元__, 乘以 E_{2,1} 得到 U_{2,1}=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\0 & 2 & -2 \\0 & 4 & 1 \\\end{matrix}\right],  此时b变成了\left[ \begin{matrix}2\\ 6\\ 2\\ \end{matrix} \right]

具体操作为:``` 第二行减去 (第一行乘以3),第三行保持不变  ```  标记为矩阵E_{21}=\left[  \begin{matrix}  1 & 0 & 0 \\  3 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \\  \end{matrix}\right]对A进行乘操作

* __第二行对第三行消元(pivot)__, 乘以E_{3,2}得到U_{3,2}=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\0 & 2 & -2 \\0 & 0 & 5 \\\end{matrix}\right], 此时b变成了\left[ \begin{matrix}2\\ 6\\ -10\\ \end{matrix} \right]

具体操作为:``` (第三行乘以-2)减去 第二行,第一行保持不变  ```  标记为矩阵E_{32} = \left[  \begin{matrix}  1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & -2 & 1 \\  \end{matrix}\right]乘以U_{2,1}操作

* 对于矩阵

E_{21}=\left[  \begin{matrix}  1 & 0 & 0 \\  3 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \\  \end{matrix}\right],E_{32} = \left[  \begin{matrix}  1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & -2 & 1 \\  \end{matrix}\right],A_{左边}=\left[\begin{matrix}1,first_{pivot} & 2 & 1 \\3 & 8 & 1 \\0 & 4 & 1 \\\end{matrix}\right]

三者相乘,最终得到 U=\left[  \begin{matrix}  1 & 2 & 1 \\  0 & 2 & -2 \\  0 & 0 & 5 \\  \end{matrix}\right]

## 2. 回代

* 将矩阵重新带入具有未知数的方程组,得到

\begin{cases}x + 2y + z = 2\\2y - 2z = 6\\5z=-10\\\end{cases}, 可以求解出方程组。

# 总结:

由于E_{2,1}, E_{3,2},对A_{left}乘以循序可以相互换而不影响最终的结果,所以矩阵的乘法具有交换律,就是说括号可以随处绑定。  __注意__:顺序可以变,但是位置不可以变。

### 矩阵的乘法公式:

设A为m x p的矩阵,B为p x n的矩阵,那么称的矩阵C为矩阵A与B的乘积,记作C=AB,其中矩阵C中的第 i行第j列元素可以表示为:

\left(AB\right)_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj} =a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... + a_{ip}b_{pj}

以一个矩阵的i行 乘以第二个矩阵的j列,得到结果居中中的第i行j列,带入ij分别为1,则比较清晰的理解问题。

## 行列交换:

### 对于原始矩阵 

M_{origin} =  \left[ \begin{matrix}a_{j} & b \\c_{j} & d \\\end{matrix} \right]

* 行变换Permutation

P_{left Permutation} = \left[ \begin{matrix}0_{i} & 1_{i} \\ 1 & 0 \\\end{matrix} \right]

P_{left} * M_{origin} \Rightarrow\left[ \begin{matrix}0_{i} & 1_{i} \\1 & 0 \\\end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix}a_{j} & b \\c_{j} & d \\\end{matrix} \right]

\Rightarrow M_{new,byRowRotation}=\left[ \begin{matrix}c = 0_{i} * a_{j} + 1_{i} * c_{j}  &  d\\a &  b\\\end{matrix} \right]

即 \left[ \begin{matrix}c & d\\a & b\\\end{matrix} \right]

* 列变换Permutation

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