同济高等数学第七版2.2习题精讲

作者: 解冒号 | 来源:发表于2019-10-25 22:18 被阅读0次

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1、推导余切函数与余割函数的导数公式。

解：根据运算法则进行推导

$(\cot x)^{\prime}=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{\prime}=\frac{-\sin x \sin x-\cos x \cos x}{\sin ^{2} x}=-\frac{1}{\sin ^{2} x}=-\csc ^{2} x$
$(\csc x)^{\prime}=\left(\frac{1}{\sin x}\right)^{\prime}=\frac{-\cos x}{\sin ^{2} x}=-\csc x \cot x$

2、求下列函数的导数：

$\begin{array}{ll}{\text { (1) } y=x^{3}+\frac{7}{x^{4}}-\frac{2}{x}+12 ;} & {\text { (2) } y=5 x^{3}-2^{x}+3 \mathrm{e}^{x}} \\ {\text { (3) } y=2 \tan x+\sec x-1 ;} & {\text { (4) } y=\sin x \cos x} \\ {\text { (5) } y=x^{2} \ln x ;} & {\text { (6) } y=3 \mathrm{e}^{x} \cos x} \\ {\text { (7) } y=\frac{\ln x}{x} ;} & {\text { (8) } y=\frac{e^x}{x^2}+ln3} \\ {\text { (9) } y=x^{2} \ln x \cos x ;} & {\text { (10) } s=\frac{1+\sin t}{1+\cos t}}\end{array}$

解： (1) $y^{\prime}=3 x^{2}-\frac{28}{x^{5}}+\frac{2}{x^{2}}$
(2) $y^{\prime}=15 x^{2}-2^{x} \ln 2+3 \mathrm{e}^{x}$
(3) $y^{\prime}=2 \sec ^{2} x+\sec x \tan x=\sec x(2 \sec x+\tan x)$
(4) $y^{\prime}=\left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot 2 \cos 2 x=\cos 2 x$
(5) $y^{\prime}=2 x \ln x+x^{2} \cdot \frac{1}{x}=x(2 \ln x+1)$
(6) $y^{\prime}=3 \mathrm{e}^{x} \cos x-3 \mathrm{e}^{x} \sin x=3 \mathrm{e}^{x}(\cos x-\sin x)$
(7) $y^{\prime}=\frac{\frac{1}{x} \cdot x-\ln x}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$
(8) $y^{\prime}=\frac{\mathrm{e}^{x} \cdot x^{2}-2 x \mathrm{e}^{x}}{x^{4}}=\frac{\mathrm{e}^{x}(x-2)}{x^{3}}$
(9) $y^{\prime}=2 x \ln x \cos x+x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cos x+x^{2} \ln x(-\sin x)$
$=2 x \ln x \cos x+x \cos x-x^{2} \ln x \sin x$
$(10) s^{\prime}=\frac{\cos t(1+\cos t)-(1+\sin t)(-\sin t)}{(1+\cos t)^{2}}=\frac{1+\sin t+\cos t}{(1+\cos t)^{2}}$