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同济高等数学第七版1.10习题精讲

同济高等数学第七版1.10习题精讲

作者: 解冒号 | 来源:发表于2019-10-14 21:05 被阅读0次

同济高等数学第七版1.10习题精讲

1.假设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，并且对[0,1]上任一点x有0\leq f(x)\leq1。试证明[0,1]中必有一点c，使得f(c)=c.

证明：设\phi(x)=f(x)-x。在[0,1]上0\leq f(x)\leq1,如果f(0)=0或者f(1)=1则它们就是满足条件的点。如果f(0)\neq0，f(1)\neq1则0<f(x)<1，\phi(0)>0,\phi(1)<0，满足零点定理。问题得证。

2.证明方程x^5-3x=1至少有一个根介于1和2之间。

证明：设f(x)=x^5-3x-1，并且在[1,2]上连续，有f(1)=-3,f(2)=25,满足零点定理。问题得证。

3.证明方程x=asinx+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根，并且不超过a+b。

证明：设f(x)=asinx+b-x在[0,a+b]上连续，f(0)=b>0,f(a+b)=asin(a+b)+b-a-b\leq0,当f(a+b)=0时，就是所求的根，如果f(a+b)<0，此时满足零点定理。问题得证。

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