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同济高等数学第七版1.7习题精讲

同济高等数学第七版1.7习题精讲

作者: 解冒号 | 来源:发表于2019-10-06 22:07 被阅读0次

同济高等数学第七版1.7习题精讲

1.当x\to 0时，2x-x^2与x^2-x^3相比，那一个是高阶无穷小量？

解：(1)\lim_{x\to 0}\frac{2x-x^2}{x^2-x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{2-x}{x-x^2}=\infty

所以，x^2-x^3是高阶无穷小量。

2.当x\to 0时，（1-cosx)^2与sin^2x相比，那一个是高阶无穷小量？

解：\lim_{x\to 0}\frac{(1-cosx)^2}{sin^2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{4}x^4}{x^2}=0.

所以，(1-cosx)^2是高阶无穷小量。

3.当x\to 1时，无穷小1-x和1-x^3,\frac{1}{2}(1-x^2)是否同阶，是否等价？

解：\lim_{x\to 1}\frac{1-x^3}{1-x}=\lim_{x\to 1}(1+x+x^2)=3，所以二者同阶但不是等价无穷小。

\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{2}(1-x^2)}{1-x}=1，所以二者同阶，等价无穷小。

4.证明：当x\to 0时，有

(1)arctanx \sim x;(2)secx-1 \sim \frac{x^2}{2}

证明：(1)设 arctanx=t,x=tant,x\to 0,t\to0

所以\lim_{x\to 0}\frac{arctanx}{x}=\lim_{t\to 0}\frac{t}{tant}=1。证明完毕。

(2)\lim_{x\to 0}\frac{secx-1}{\frac{x^2}{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{cosx}-1}{\frac{x^2}{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{(1-cosx)2}{cosx\cdot x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2\cdot 2}{cosx\cdot x^2}=1

5.利用等价无穷小性质，求下列极限。

(1)\lim_{x\to 0}\frac{tan3x}{2x}

(2)\lim_{x\to 0}\frac{sin(x^n)}{sin(x^m}

(3)\lim_{x\to 0}\frac{tanx-sinx}{sin^3x}

(4)\lim_{x\to 0}\frac{sinx-tanx}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+sinx}-1)}

解：(1)\lim_{x\to 0}\frac{tan3x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}

(2)\lim_{x\to 0}\frac{sin(x^n)}{sin(x^m)}=\lim_{x\to 0}\frac{x^n}{x^m}=\begin{cases}0,n>m\\1,n=m\\ \infty ,n<m \end{cases}

(3)\lim_{x\to 0}\frac{tanx-sinx}{sin^3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{sinx}{cosx}-sinx}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{sinx\frac{1-cosx}{cosx}}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x\frac{\frac{1}{2}x^2}{cosx}}{x^3}=\frac{1}{2}

(4)\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{sinx-tanx}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+sinx}-1)}=\lim_{x\to 0}\frac{sinx(1-\frac{1}{cosx})}{\frac{1}{3}x^2\frac{1}{2}x}=\lim_{x\to 0}\frac{sinx(\frac{cosx-1}{cosx})}{\frac{1}{3}x^2\frac{1}{2}x}=-3

6.证明无穷小的等价关系具有下列性质：

(1)\alpha \sim \alpha

(2)若\alpha \sim \beta，则\beta \sim \alpha

(3)若\alpha \sim \beta，\beta \sim \gamma，则\alpha \sim \gamma

证明：(1)\because \lim \frac{\alpha}{\alpha}=1，问题得证。

(2)\because \lim \frac{\alpha}{\beta}=1,\therefore \lim \frac{\beta}{\alpha}=1，问题得证。

(3)\because \lim \frac{\alpha}{\beta}=1, \lim \frac{\beta}{\gamma}=1,\therefore \lim \frac{\alpha}{\gamma}=lim\frac{\alpha}{\beta}\frac{\beta}{\gamma}=1，问题得证。

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