曲线与方程

一、曲线的方程和方程的曲线

坐标系建立以后，平面上的点M与实数对（x，y）建立了一一对应关系。点的运动形成曲线C，与之对应的实数对（x，y）的约束关系，就形成方程f（x，y）=0

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0 的实数解建立了如下关系：

• 曲线上的点的坐标都是这个方程的解
• 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
  那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

温馨提示

1️⃣ “曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说，曲线上所有的点都适合方程而毫无例外（纯粹性）； “以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明适合方程的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）

• 只有满足了上面两个条件，才能称“方程f（x，y）=0是曲线的方程”和“曲线C是方程f（x，y）=0的曲线”
• 如果曲线C的方程是f（x，y）=0，那么点p（）在曲线C上的充要条件是f（）=0

2️⃣求曲线的方程与求轨迹是由不同要求的，求轨迹不仅要求出方程，而且还需说明所求轨迹是什么样的图形，在何处，即图形的形状，位置，大小都需要说明。求“轨迹”时，首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后遗漏和去掉多余的点，若轨迹有不同的情况，应分类讨论，以保证它的完整性。

二、曲线的交点与方程组的关系

两条曲线有交点的充要条件是这两条曲线的方程组成的方程组有实数解，方程组解的组数就是这两曲线交点的个数，量曲线若无交点，则方程组也必无解。
点p（）既在曲线:f(x,y)=0上又在曲线C:g(x,y)=0上的充要条件是点的坐标是方程组f(x,y)=0和g(x,y)=0的解。

温馨提示

• 求两条曲线的交点坐标，只需解两条曲线的方程组成的方程组
• 要想得知两曲线有无交点，或有几个交点，值需判断方程组有无实数解，或有几组实数解
• 如果量曲线的位置关系时由交点个数决定的，那么位置关系可由方程组的实数解的情况来确定

三、求曲线的轨迹方程的基本步骤

在求曲线的轨迹方程时，要历经审题，寻找和确定求解途径，分清答题步骤，逐步推演，综合陈述，完整解答或给出恰当的结论等多个不可缺少的环节，其基本步骤：
1️⃣建系设点：建立适当的坐标系，用有序数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标
2️⃣列式：写出适合条件p的点M的集合P={M/p(M)},关键是根据条件列出适合的等式
3️⃣代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0
4️⃣化简：把方程f(x,y)=0化成最简形式
5️⃣查漏除杂：验证方程表示的曲线是不是已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，或者方程表示曲线上是否有遗漏的点

四、求轨迹时，建立坐标系的注意事项

求轨迹时，如果题设条件中未给出坐标，要建立适当的坐标系，选择适当坐标系应遵循垂直性与对称性的原则，常见的建系方法有：
1️⃣若条件中只出现一个定点，常以改点为坐标原点
2️⃣若已知两定点，常以这两定点连线的中点为原点，以两定点的连线所在的直线为x轴建立直角坐标系
3️⃣若已知两条互相垂直的直线，常以它们为坐标轴建立直角坐标系
4️⃣若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以点到直线的垂线段所在直线为x轴建立直角坐标系
5️⃣若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线所在的直线为x轴建立直角坐标系