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3.3 多维随机变量的分布 - 离散的情况

3.3 多维随机变量的分布 - 离散的情况

作者: Megahorn | 来源:发表于2019-05-31 16:17 被阅读0次

离散的情况

离散场合的卷积公式
X,Y相互独立，对任意非负整数k，有
P(Z=k)=\sum_{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i)
该公式被称为离散情况下的卷积公式

泊松分布的可加性（例3.3.2）：设随机变量X\sim P(λ_1),Y\sim P(λ_2)，且X与Y独立，则Z=X+Y\sim P(λ_1+λ_2)
证明：
由以下已知条件：

  • Z=X+Y可取0,1,2,…所有非负整数；
  • 事件\left\{Z=k\right\}是如下诸互不相容事件的并；
    \left\{X=i,Y=k-i\right\},\quad i=0,1,…,k
  • 由于X,Y相互独立，对任意非负整数k，有
    P(Z=k)=\sum_{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i)
    该公式被称为离散情况下的卷积公式。

由以上条件可得：
P(Z=k)=\sum_{i=0}^{k}(\frac{\lambda_{1}^{i}}{i!}e^{-\lambda_1})(\frac{\lambda_{2}^{k-i}}{(k-i)!}e^{-\lambda_2})
\qquad \quad \quad =(e^{-\lambda_1})(e^{-\lambda_2})\sum_{i=0}^{k}\frac{\lambda_{1}^{i}\lambda_{2}^{k-i}}{i!(k-i)!}
\qquad \quad \quad =e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\sum_{i=0}^{k}\frac{1}{i!(k-i)!}\frac{(\lambda_{1}^{i}\lambda_{2}^{k-i}){(\lambda_1+\lambda_2)^k}}{(\lambda_1+\lambda_2)^k}
\qquad \quad \quad =e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}(\lambda_1+\lambda_2)^k \sum_{i=0}^{k}\frac{k!}{k!i!(k-i)!}\frac{\lambda_{1}^{i}\lambda_{2}^{k-i}}{(\lambda_1+\lambda_2)^k}
\qquad \quad \quad =e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}(\lambda_1+\lambda_2)^k \frac{1}{k!} \sum_{i=0}^{k}\frac{k!}{i!(k-i)!}\frac{\lambda_{1}^{i}\lambda_{2}^{k-i}}{(\lambda_1+\lambda_2)^k}
\qquad \quad \quad =e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!} \sum_{i=0}^{k}\underbrace{ \binom{k}{i}\frac{\lambda_1^i}{(\lambda_1+\lambda_2)^i}\frac{\lambda_2^{k-i}}{(\lambda_1+\lambda_2)^{k-i}}}_{二项式[\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}+(1-\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2})]^k的展开式的第i项}
\qquad \quad \quad =e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}\sum_{i=0}^{k}(1)^k
\qquad \quad \quad =e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}
所以X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)
Q.E.D.

以上性质被叙述为：泊松分布的卷积仍是泊松分布，并记为P(\lambda_1)*P(\lambda_2)=P(\lambda_1+\lambda_2)
这里卷积是指寻求两个独立随机变量的和的分布的运算，这个性质可以推广到
有限个独立泊松变量之和的分布上，即
P(\lambda_1)*P(\lambda_2)*…*P(\lambda_n)=P(\lambda_1+\lambda_2+…+\lambda_n)
当\lambda_1=\lambda_2=…=\lambda_n=\lambda，有
P(\lambda)*P(\lambda)*…*P(\lambda)=P(n \lambda)

二项分布的可加性（例3.3.3）：设随机变量X\sim b(n,p),Y\sim b(m,p)，且X,Y独立，则Z=X+Y\sim b(n+m,p)
证明：
由以下已知条件：

  • Z=X+Y可取0,1,2,…,n+m等n+m+1个不同的值；
  • 由于X,Y相互独立，对任意非负整数k，有
    P(Z=k)=\sum_{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i)
    该公式被称为离散情况下的卷积公式；
  • 在二项分布中，上式中有些事件是不可能事件
    1)当i>n时，\left\{X=i \right\}是不可能事件，所以只需考虑i\leqslant n
    2)当k-i>m时，\left\{Y=k-i \right\}是不可能事件，所以只需考虑i\geqslant k-m
    因此记a=max\left\{0,k-m\right\},\quad b=min\left\{n,k\right\}
    即只需考虑a\leqslant i \leqslant b的情况

由以上条件可得：
P(Z=k)=\sum_{i=a}^{b}P(X=i)P(Y=k-i) \quad
\qquad \quad \quad =\sum_{i=a}^{b}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\cdot \binom{m}{k-i}p^{k-i}(1-p)^{m-(k-i)}
\qquad \quad \quad =p^{k}(1-p)^{n+m-k}\sum_{i=a}^{b}\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}
利用超几何分布可证明上式乘积的和满足：
\sum_{i=a}^{b}\frac{\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}}{\binom{n+m}{k}}=1即
\sum_{i=a}^{b}\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k}
代入原式，得
P(Z=k)=\binom{n+m}{k}p^{k}(1-p)^{n+m-k},\quad k=0,1,…,n+m
所以Z=X+Y \sim b(n+m,p)
Q.E.D.

即在参数p相同的情况下，二项分布的卷积仍是二项分布，即
b(n,p)*b(m,p)=b(n+m,p).
这个性质可以推广到有限个场合，即
b(n_1,p)*b(n_2,p)*…*b(n_k,p)=b(n_1+n_2+…+n_k,p)
特别当n_1=n_2=…=n_k=1时，有
b(1,p)*b(2,p)*…*b(k,p)=b(n,p)
这表明：如果X_1,X_2,…,X_n独立同分布，都服从b(1,p)分布，则其和\sum_{i=1}^{n}X_i\sim b(n,p).
或者说，服从二项分布b(n,p)的随机变量可以分解成n个相互独立的0-1分布的随机变量之和。

最大值与最小值的分布

最大值分布（例3.3.4）：设X_1,X_2,…,X_n是相互独立的n个随机变量，若Y=max\left\{ X_1,X_2,…,X_n \right\}.
试在以下情况下求Y的分布：

  1. X_i\sim F_i(x),i=1,2,…,n;
  2. 诸X_i同分布，即X_i\sim F(x),i=1,2,…,n
  3. 诸X_i为连续随机变量，且诸X_i同分;布，即X_i的密度函数均为p(x),i=1,2,…,n;
  4. X_i\sim Exp(\lambda),i=1,2,…,n.

解：

  1. Y=max\left\{ X_1,X_2,…,X_n \right\}的分布函数为
    F_Y(y)=P(max\left\{ X_1,X_2,…,X_n \right\}\leqslant y)
    \qquad \quad =P(X_1\leqslant y,X_2\leqslant y,…,X_n\leqslant y)
    \qquad \quad =P(X_1\leqslant y)P(X_2\leqslant y)…P(X_n\leqslant y)
    \qquad \quad =\prod_{i=1}^{n}F_i(y)
  2. 将X_i的共同分布函数F(x)代入上式得
    F_Y(y)=[F(y)]^n.
  3. Y的分布函数仍为上式，密度函数可对上式关于y求导得
    p_Y(y)={F}'_Y(y)=n[F(y)]^{n-1}p(y)
  4. 将Exp(\lambda)的分布函数和密度函数代入2/3式中，得
    F_Y(y)=\left\{\begin{matrix} 0,\qquad \qquad \quad y<0\\ (1-e^{-\lambda y})^n,\quad y\geqslant 0 \end{matrix}\right.
    p_Y(y)=\left\{\begin{matrix} 0,\qquad \qquad \qquad \quad y<0\\ n(1-e^{-\lambda y})\lambda e^{- \lambda y},y\geqslant 0 \end{matrix}\right.

最小值分布（例3.3.5）：
设X_1,X_2,…,X_n是相互独立的n个随机变量，若Y=min\left\{ X_1,X_2,…,X_n \right\}。试在以下情况求Y的分布：

  1. X_i\sim F_i(x),i=1,2,…,n;
  2. 诸X_i同分布，即X_i\sim F(x),i=1,2,…,n
  3. 诸X_i为连续随机变量，且诸X_i同分;布，即X_i的密度函数均为p(x),i=1,2,…,n;
  4. X_i\sim Exp(\lambda),i=1,2,…,n.

解：

  1. Y=min\left\{ X_1,X_2,…,X_n \right\}的分布函数为
    F_Y(y)=P(min\left\{ X_1,X_2,…,X_n \right\}\leqslant y)
    \qquad \quad =1-P(min\left\{ X_1,X_2,…,X_n \right\}> y)
    \qquad \quad =1-P(X_1> y,X_2> y,…,X_n> y)
    \qquad \quad =1-P(X_1> y)P(X_2> y)…P(X_n> y)
    \qquad \quad =1-\prod_{i=1}^{n}[1-F_i(y)]
  2. 将X_i的共同分布函数F(x)代入上式得
    F_Y(y)=1-[1-F(y)]^n.
  3. Y的分布函数仍为上式，密度函数可对上式关于y求导得
    p_Y(y)={F}'_Y(y)=n[1-F(y)]^{n-1}p(y)
  4. 将Exp(\lambda)的分布函数和密度函数代入2/3式中，得
    F_Y(y)=\left\{\begin{matrix} 0,\qquad \qquad \quad y<0\\ 1-e^{-n \lambda y},\quad y\geqslant 0 \end{matrix}\right.
    p_Y(y)=\left\{\begin{matrix} 0,\qquad \quad y<0\\ n \lambda e^{-n{\lambda}{y}},y\geqslant 0 \end{matrix}\right.

从最大值分布与最小值分布的两个例子可以看出：
若X_1,X_2,…,X_n独立同分布，X_i服从参数为\lambda的指数分布时，

  • max\left\{ X_1,X_2,…,X_n \right\}不服从指数分布
  • min\left\{ X_1,X_2,…,X_n \right\}服从参数为n\lambda的指数分布

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