2.3.3 切比雪夫不等式的证明

作者: Megahorn | 来源:发表于2019-05-10 15:44 被阅读0次

Refer to：
https://blog.csdn.net/u011240016/article/details/53005577
https://blog.csdn.net/u011240016/article/details/53010699

先从一道类型题出发
例1：设X是连续型变量，方差存在，则对任意的常数C和 $\epsilon>0$ ,必有
$P(|X−C|\geqslant \epsilon)\leqslant \frac{E(|X−C|)}{\epsilon}$
分析：初看这种形式，心里一定很莫名其妙，这两个有什么关系？如果对期望的定义有很深刻的认识
$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$
对于 $E(g(X))=\int_{\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$
所以 $E(|X-C|)=\int_{-\infty}^{+\infty}|X-C|f(x)dx$

这样子我们就有了尝试的方向，原命题
$P(|X−C|\geqslant \epsilon)\leqslant \frac{E(|X−C|)}{\epsilon}$
左右两部分都可以表示成积分的形式，有
$P(|X-C|\geqslant\epsilon)=\int_{|X-C|\geqslant\epsilon}f(x)dx$ .....................................................①
$\frac{E(|X−C|)}{\epsilon}=\frac{1}{\epsilon}\int_{-\infty}^{+\infty}|X-C|f(x)dx$ ............................................②
左部分的积分区间为 $|X-C|\geqslant\epsilon$ ，肯定小于 $(-\infty,+\infty)$ ，
且 $\frac{|X-C|}{\epsilon}\geqslant1$ ，所以
可以从这里入手进行缩放
$P(|X-C|\geqslant\epsilon)$
$=\int_{|X-C|\geqslant\epsilon}f(x)dx$ ......................................................................................①
$\leqslant \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$
$\leqslant \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{|X-C|}{\epsilon}f(x)dx$
$=\frac{1}{\epsilon}\int_{-\infty}^{+\infty}|X-C|f(x)dx$ .......................................................................②
$=\frac{E(|X-C|)}{\epsilon}$

上题的变形
例2：设X是随机变量， $E(|X|)^{r}(r>0)$ 存在，对任意的 $\epsilon >0$ ，有 $P(|X|>\epsilon)\leqslant \frac{E(|X|^{r})}{\epsilon ^{r}}$ .
分析：两边用积分表示
左边 $P(|X|>\epsilon)=\int_{|X|>\epsilon}f(x)dx$ .............................................................①
右边 $\frac{E(|X|^{r})}{\epsilon ^{r}} =\frac{1}{\epsilon^{r}}\int_{-\infty}^{+\infty}|X|^{r}f(x)dx$ ...................................................②
由于式①的积分区间 $|X|>\epsilon$ 小于 $(-\infty,+\infty)$ ，
且 $\frac{|X|}{\epsilon} >1$ ， $\frac{|X|^{r}}{\epsilon^{r}}>1$ ，所以
$P(|X|>\epsilon)=\int_{|X|>\epsilon}f(x)dx$
$\leqslant\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$
$\leqslant\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{|X|^{r}}{\epsilon^{r}}f(x)dx$
$=\frac{1}{\epsilon^{r}}\int_{-\infty}^{+\infty}|X|^{r}f(x)dx$
$=\frac{E(|X|^{r})}{\epsilon ^{r}}$

现在来看切比雪夫不等式
对任意的 $\epsilon>0$
$P(|X−E(X)|\geqslant\epsilon)\leqslant \frac{Var(X)}{\epsilon^{2}}$

证明：两边用积分表示
左边 $P(|X−E(X)|\geqslant\epsilon)=\int_{|X−E(X)|\geqslant\epsilon}f(x)dx$ ，
$\because$ 方差的定义2.3.1 $Var(X)=E((X-E(X))^{2})$
右边 $\frac{Var(X)}{\epsilon^{2}}=\frac{E((X-E(X))^{2})}{\epsilon^{2}}=\frac{1}{\epsilon^{2}}\int_{-\infty}^{+\infty}(X-E(X))^{2}f(x)dx$
左边的积分区域 $|X−E(X)|\geqslant\epsilon$ 小于 $(-\infty,+\infty)$ ，
且 $\frac{|X−E(X)|}{\epsilon} \geqslant 1$ ， $\frac{|X−E(X)|^{2}}{\epsilon^{2}}\geqslant1$ ，所以
$P(|X−E(X)|\geqslant\epsilon)=\int_{|X−E(X)|\geqslant\epsilon}f(x)dx$
$\leqslant \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$
$\leqslant \frac{1}{\epsilon^{2}}\int_{-\infty}^{+\infty}|X−E(X)|^{2}f(x)dx$
$=\frac{Var(X)}{\epsilon^{2}}$

用图来理解切比雪夫不等式的证明
@TODO 有时间补个图，先看字凑合理解，关键是式子①中的放大过程
$P(|X−E(X)|\geqslant\epsilon)\leqslant \frac{Var(X)}{ \epsilon^{2}}$
$\because \epsilon>0$
设
$S_{①}$ 为 $P(X\geqslant E(X)+\epsilon)=\int_{E(X)+\epsilon}^{+\infty}f(x)dx$
$S_{②}$ 为 $P(X\leqslant E(X)-\epsilon)=\int_{-\infty}^{E(X)-\epsilon}f(x)dx$
$P(|X−E(X)|\geqslant\epsilon)=S_{①}+S_{②}\leqslant S_{(-\infty,+\infty)}\leqslant C*S_{(-\infty,+\infty)},(C>1)$ .........①
C的取值可以是任意大于等于1的数，在切比雪夫不等式中，取 $\frac{Var(X)}{\epsilon^{2}}$
$\because \frac{Var(X)}{\epsilon^{2}}=\frac{|X−E(X)|^{2}}{\epsilon^{2}}$
由命题左边知 $|X−E(X)|\geqslant\epsilon \Rightarrow \frac{|X−E(X)|^{2}}{\epsilon^{2}} \geqslant 1$
所以切比雪夫不等式成立

在①的两次放大中，积分区间的放大和C倍放大都是非常松散的放大，
当 $\epsilon$ 非常大时，实际上 $S_{①}+S_{②}$ 远远小于 $S_{(-\infty,+\infty)}$
或者当 $\epsilon$ 非常小，远远小于@TODO时
可以得出切比雪夫不等式给出的是一个非常松散的界

2.3.3 切比雪夫不等式的证明

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