依概率收敛

作者: Megahorn | 来源:发表于2019-04-28 14:22 被阅读0次
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    我们在高等数学中学过收敛的概念,比如数列\left \{a_{n}\right\}收敛于a,有\lim_{n \to \infty}a_{n}=a
    它的含义是当n越来越大时,a_{n}a可以无限接近。无限接近的意思只要n越来越大,那么a_{n}a的距离可以任意小,这里不再写出对应的\varepsilon -\sigma定义。

    再来看什么是随机变量序列\left \{X_{n}\right \},首先这个\left \{X_{n}\right \}是怎么产生的?
    以抛硬币为例:设X_{n}为n次试验中正面出现的频率,
    当n变化时就形成一个随机变量序列\left \{X_{n}\right \}
    X_{1}表示一次试验中正面出现的频率,则有
    X_{1}=\left\{\begin{matrix} 1,front side\\ 0,back side \end{matrix}\right.
    X_{2}的取值为0,1/2,1三个值,

    X_{n}的取值有n+1个,即:
    0,1/n,2/n,3/n,…,1

    也就是说不管n多大,取1或0的概率是存在的,所以X_{n}0,1/n,2/n,3/n,…,1中的任意一个数都不会随着n的增大而变的任意小,比如下式是错误的:
    \lim_{n \to \infty}X_{n}=\frac{1}{2}

    为什么呢?
    上式根据收敛的定义是随着n的增大,X_{n}\frac{1}{2}可以任意接近,可能吗?

    当然不可能,因为不管n多大,X_{n}都有可能取1或者0,
    所以X_{n}怎能与\frac{1}{2}无限接近呢?
    所以X_{n}这个n次试验正面频率稳定于1/2附近是不能用上式表达的。

    但考察如下概率:
    \lim_{n \to \infty}P(X_{n}=1) = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^{n}} = 0
    \lim_{n \to \infty}P(X_{n}=0) = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^{n}} = 0
    所以随着n的增大,X_{n}取两侧值的概率越来越小,取值集中的概率越来越大,故可以如下结论:
    \forall\varepsilon>0,有
    \lim_{n \to \infty}P(|X_{n}-\frac{1}{2}|>\varepsilon)=0
    即虽然当n很大时,X_{n}可能会零星的出现等于1的情况,但是概率非常小,是趋于0的,故称为依概率收敛。

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