二分类与多分类的交叉熵损失函数

序

交叉熵损失是分类任务中的常用损失函数，但是是否注意到二分类与多分类情况下的交叉熵形式上的不同呢？
本次记录一下二者的不同。

两种形式

这两个都是交叉熵损失函数，但是看起来长的却有天壤之别。为什么同是交叉熵损失函数，长的却不一样呢？

因为这两个交叉熵损失函数对应不同的最后一层的输出：
第一个对应的最后一层是softmax，第二个对应的最后一层是sigmoid。

信息论中的交叉熵

先来看下信息论中交叉熵的形式

交叉熵是用来描述两个分布的距离的，神经网络训练的目的就是使 g(x) 逼近 p(x)。

softmax层的交叉熵

g(x)是什么呢？就是最后一层的输出 y 。
p(x)是什么呢？就是我们的one-hot标签。我们带入交叉熵的定义中算一下，就会得到第一个式子：

其中 j 代表样本 x 属于第 j 类。

sigmoid作为输出的交叉熵

sigmoid作为最后一层输出的话，那就不能吧最后一层的输出看作成一个分布了，因为加起来不为1。

现在应该将最后一层的每个神经元看作一个分布，对应的 target 属于二项分布(target的值代表是这个类的概率)，那么第 i 个神经元交叉熵为：

所以最后一层总的交叉熵损失函数是：

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