超平面

作者: _LEON_ | 来源:发表于2020-08-10 22:31 被阅读0次

在看《统计学习方法》时，对超平面有些地方不理解，这篇文章就记录一下疑问和答案。

疑问

点乘公式怎么会成立
超平面怎么可以有多个函数表达式
点到超平面的距离怎么算

定义

超平面将n维空间分为两部分的线性子空间，它的维度会比空间维度少1，以盘古开天辟地为例，混沌是个3维空间，斧子的运动轨迹就是超平面，它是二维的，平的，并且将混沌分成天和地两个部分。超平面的公式是

$w^Tx+b=0$

点乘

$w^Tx$ 是两个向量的点乘，计算公式是 $\|w\|\dot\|x\|cos\theta$ ，可以看出结果是一个标量，也就是一个数字，其中 $\|\|$ 表示向量的模，即向量的长度。

image.png

（图1来自：此处）

以二维空间为例，令 $\overrightarrow{a}=(x_1, y_1), \overrightarrow{b}=(x_2, y_2)$

$a$ 与 $b$ 点乘的计算公式有两个

$\|a\|\|b\|cos\theta$
$x_1x_2 + y_1y_2$

它们计算结果相等证明如下：

令 $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$

按照勾股定理计算 $c$ 的模

$\begin{aligned}\|c\|^2 &= (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2\\ &= x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 - 2x_1x_2 - 2y_1y_2\\ &= \|a\|^2 + \|b\|^2 - 2(x_1x_2+y_1y_2)\end{aligned}$

同时根据余弦定理计算

$\|c\|^2 = \|a\|^2 + \|b\|^2 - 2\|a\|\|b\|cos\theta$

上面两式去除重复项，即可得到 $\|a\|\|b\|cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2$

扩展到n维空间上面这个等式依然成立，向量是对有向线段的描述，在二维空间需要两个值描述，在n维空间需要n个值描述，凭直觉就可以知道向量的运算是独立与空间的，如果这种运算在二维空间成立，那么在n维空间也应该成立。就像某个温度的摄氏计数和华氏计数不一样，但它们是一样热的。

余弦定理

这里再证明一下余弦定理

image.png

（图2来自https://blog.csdn.net/devout_/article/details/90924660）

三角形有三个角A、B、C和三条边a，b，c

计算AD的长度

使用直角三角形ABD计算

$\|AD\|^2=c^2-(ccosB)^2$
使用直角三角形ACD计算

$\begin{aligned} \|AD\|^2 &= b^2 - (a-ccosB)^2\\ &=b^2-a^2-cos^2B+2accosB \end{aligned}$

上面两个算式移项整理一下得 $b^2 = a^2 + c^2 - 2accosB$

几何意义

以二维空间为例，其超平面是一条直线。

image.png

（图3 来自《统计学习方法第二版》）

设该线为 $x^{(1)} + x^{(2)} - 1 = 0$ ，注意这里看起有2个未知数，但是当其中一个未知数固定以后，另一个未知数是确定的，其实是个一元函数，维度比空间的维度数少1。

其中 $w = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}^T$ ，以向量方式表示为

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} - 1 = 0$

这个超平面可以有多个函数表示，比如 $2x^{(1)} + 2x^{(2)} - 2 = 0$ 。只要 $w$ 和 $b$ 同比例放大，就表示同一个超平面，因此有时会要求 $w$ 是单位向量，这样超平面的函数表达式就会唯一的确定下来。此时候向量点乘的几何意义就更加明确—就是 $x$ 在 $w$ 上投影的长度。