前言
瞥一眼目录就会发现这本教材在“高级微积分”的层面上处理分析的主题，其目的是为这个诚实的，严谨的，最新但同时又不是非常刻板迂腐的主题提供良好的发展。这本书提供了一个从实函数和复函数理论的初级微积分到高级微积分课程的过渡，并向读者介绍一些普遍存在于现代分析中的抽象思维。
第二版在很多细节方面不同于第一版，点集拓扑在一般度量空间和欧几里得n维空间的背景下发展了起来，并在勒贝格积分上增加了两个新的章节，删掉了曲线积分，矢量分析和曲面积分的材料，一些章节的顺序已经重新安排，很多部分已经完全改写，并增加了一些新的练习。
勒贝格积分的发展遵循了Riesz-Nagy方法，直接聚焦于函数及其积分，而不依赖于测度论。这里的教学是简化的，发散的，并在一定程度上重新安排，以便于在本科层面上进行演示。
第一版已经用于各种级别的数学课程，从本科一年级到研究生一年级，都用做教材或参考书。第二版将保持这种灵活性。例如，从第1~5章、第12章、第13章提供了一元或者多元函数地微分计算教学，第6到第11章、第14章和第15章提供了积分理论的教学。更多的组合也是可以的，个别导师可以通过查阅下一页的图表来选择可以满足他们需求的主题，这张图表显示了章节之间在逻辑上的相互依赖性。
我对不辞劳苦写信给我关于第一版问题的人表示感激，他们的意见和建议影响了第二版的筹备和安排，特别感谢Charalambos Aliprantis博士，他仔细阅读了整篇手稿，并提出了许多有用的建议，也提供了一些新的练习。最后，我想感谢加州理工大学的本科生，他们对数学的热情为这项工作提供了最初的动力。
帕萨迪纳市
1973年九月
章节之间的依赖关系
图表.png
第一章：实数系与复数系
1.1 简介
数学分析学习的概念，和实数有着某种方式上的关联，所以我们的学习开始于一个对实数系的讨论
用来介绍实数系的方法有很多，有一个方法是从正整数1, 2, 3...开始，将其视为未定义的概念，并用它们来构建一个更大的系统，正有理数(rational numbers)(正整数的比值)，它们的相反数，以及零，然后用有理数构建无理数(irrational numbers)，也就是实数中像、
这样的数，有理数和无理数再一起组成实数系统。
尽管这些内容是数学基础的一部分，但在这里并不详尽描述，事实上在大多数层面上的分析中，我们关心的都只是实数的性质(properties)，而不是构建它的方法。因此，我们将把实数本身作为满足某些公理的未定义对象，从这些公理中可得到衍生的性质，在读者大概熟悉了后面几页中对实数性质的讨论之后，演示会更简短。这样的目的是回顾重要的特征，并说服读者：如果有必要的话，所有的性质都可以被追溯到公理。更多的细节处理都能从章末的参考目录中找到。
为了方便，我们使用一些基本的集合符号和术语，用S表示一个集合，符号的意思是x在集合S中。我们写
就表明x不在S中。
当我们说一个集合S是集合T的子集(subset)，我们将其写为,表明所有在集合S中的元素，也都同样在集合T中。至少有一个元素的集合，我们称它是非空的(nonempty)
我们设想存在一个非空的集合R，称它为实数集，它满足下列十个公理，这些公里自然地分为三组，我们称之为域公理(field axioms)，序公理(order axioms)和完备性公里(completeness axiom)[也叫上确界公理( least-upper-bound axiom)或者连续性公理(the axiom of continuity)]
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