【矩阵】16、矩阵的初等变换

作者: 看远方的星 | 来源:发表于2021-02-03 16:42 被阅读0次

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矩阵的初等变换.png

一、练习答案

1、 $A=\left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ -1&1 \\ \end{array} \right)，A^{\ast}=？$

$A^{\ast}=\left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ 1&1 \\ \end{array} \right)$

2、 $B=\left( \begin{array}{cccc} 1&-2 \\ 3&1 \\ \end{array} \right)，B^{\ast}=？$

$B^{\ast}=\left( \begin{array}{cccc} 1&2 \\ -3&1 \\ \end{array} \right)$

3、 $C=\left( \begin{array}{cccc} 2&-3 \\ 1&4 \\ \end{array} \right)，C^{\ast}=？$

$C^{\ast}=\left( \begin{array}{cccc} 4&3 \\ -1&2 \\ \end{array} \right)$

二、知识点

1、矩阵初等变换定义

以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初等变换：

（i）对换矩阵中第i，j两行（列）的位置，记作 $r_{ij}(c_{ij})$ 或 $r_{i} \leftrightarrow r_{j}(c_{i}\leftrightarrow c_{j})$
$r_{i}$ 是第i行， $r_{j}$ 是第j行

（ii）用非零常数k乘第i行（列），记作 $kr_{i}(kc_{i})$

（iii）将矩阵的第j行（列）乘以常数k后加到第i行（列）对应元素上去，记作 $r_{i}+kr_{j}(c_{i}+kc_{j})$

改变行为初等行变换，改变列为初等列变换，统称为初等变换。矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具。

2、矩阵初等变换的作用

初等变换可以简化矩阵，如将矩阵化为梯形阵。

例：
$A=\left( \begin{array}{cccc} 2&-3&8&2 \\ 2&12&-2&12 \\ 1&3&1&4 \\ \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&3&1&4 \\ 2&12&-2&12 \\ 2&-3&8&2 \\ \end{array} \right)$

$r_{2}-2r_{1} \quad r_{3}-2r_{1}$

$\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&3&1&4 \\ 0&6&-4&4 \\ 0&-9&6&-6 \\ \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&3&1&4 \\ 0&3&-2&2 \\ 0&-3&2&-2 \\ \end{array} \right)$

$\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&3&1&4 \\ 0&3&-2&2 \\ 0&0&0&0 \\ \end{array} \right)$

利用初等变换将A化为B，A与B之间用记号→或 $\cong$ (等价号)连接。

3、化梯形阵的问题

第一种类型：最左上角元素为1，则第一列可全化为零。
$A=\left( \begin{array}{cccc} 1&-2&1&0 \\ 0&2&-8&8 \\ -4&5&9&-9 \end{array} \right)$

$\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&-2&1&0 \\ 0&2&-8&8 \\ 0&-3&13&-9 \end{array} \right)$

$\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&-2&1&0 \\ 0&1&-4&4 \\ 0&-3&13&-9 \end{array} \right)$

$\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1&-2&1&0 \\ 0&1&-4&4 \\ 0&0&1&3 \end{array} \right)$

第二种类型：最左上角元素不为零，但是也不是1。
$B=\left( \begin{array}{cccc} 3&-4&5 \\ 2&-3&1 \\ 3&-5&-1 \end{array} \right)$

$r_{2}- \frac {2}{3}r_{1},r_{3}-r_{1}\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 3&-4&5 \\ 0&-3+ \frac {8}{3}&1- \frac {10}{3}\\ 0&-1&-6 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cccc} 3&-4&5 \\ 0&- \frac {1}{3}&- \frac {7}{3}\\ 0&-1&-6 \end{array} \right)$

$\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 3&-4&5 \\ 0&1&7\\ 0&-1&-6 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 3&-4&5 \\ 0&1&7\\ 0&0&1 \end{array} \right)$

第三种类型：最左上角元素为零,其下面非零。
$C=\left( \begin{array}{cccc} 0&1&-4&8 \\ 2 &-3&2 &1\\ 5&-8&7&1 \end{array} \right)$

$\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 2 &-3&2 &1\\ 0&1&-4&8 \\ 5&-8&7&1 \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 2 &-3&2 &1\\ 0&1&-4&8 \\ 0&-8+ \frac {15}{2}&7-5&1- \frac{5}{2} \end{array} \right)$

$=\left( \begin{array}{cccc} 2 &-3&2 &1\\ 0&1&-4&8 \\ 0&-\frac {1}{2}&2&- \frac{3}{2} \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 2 &-3&2 &1\\ 0&1&-4&8 \\ 0&-1&4&- 3 \end{array} \right)$

$\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 2 &-3&2 &1\\ 0&1&-4&8 \\ 0&0&0&5 \end{array} \right)$

4、矩阵的等价

对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作 $A\cong B$

等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。即：
$A\cong A；$
$A \cong B \Rightarrow B \cong A；$
$A \cong B，B \cong C\Rightarrow A \cong C$

A的等价标准形：
$A=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&\cdots&0&0&\cdots&0 \\ 0&1&\cdots&0&0&\cdots&0 \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ 0&0&\cdots&1&0&\cdots&0 \\ 0&0&\cdots&0&0&\cdots&0 \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ 0&0&\cdots&0&0&\cdots&0 \end{array} \right) =I_{m \times n}$

定理：任何一个矩阵都有等价标准形。

三、练习

用初等变换将下列矩阵化为梯形阵

$A=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&2 \\ 0&2&0 \\ -1&0&3 \end{array} \right)$

$B=\left( \begin{array}{cccc} 1&2&-2&3 \\ 4&-3&3&12 \\ 3&-1&1&9 \\ \end{array} \right)$

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一、练习答案

二、知识点

1、矩阵初等变换定义

2、矩阵初等变换的作用

3、化梯形阵的问题

4、矩阵的等价

三、练习

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