高等代数理论基础55：\lambda-矩阵在初等变换下的标准形

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-04-04 08:12 被阅读3次

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$\lambda$ -矩阵在初等变换下的标准形

初等变换

定义： $\lambda$ -矩阵的初等变换

1.矩阵的两行(列)互换位置

2.矩阵的某一行(列)乘非零的常数c

3.矩阵的某一行(列)加另一行(列)的 $\varphi(\lambda)$ 倍, $\varphi(\lambda)$ 为一个多项式

初等矩阵

P(i,j)表示由单位矩阵经过第i行第j行(第i列第j列)互换位置所得的初等矩阵

P(i(c))表示用非零常数c乘单位矩阵第i行所得的初等矩阵

注：

对一个 $s\times n$ 的 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 作一次初等行变换相当于在 $A(\lambda)$ 的左边乘相应的 $s\times s$ 初等矩阵

对 $A(\lambda)$ 作一次初等列变换相当于在 $A(\lambda)$ 的右边乘相应的 $n\times n$ 初等矩阵

初等矩阵都是可逆的,且 $P(i,j)^{-1}=P(i,j)$ , $P(i(c))^{-1}=P(i(c^{-1}))$ , $P(i,j(\varphi))^{-1}=P(i,j(-\varphi))$

故初等变换可逆

等价

定义：若 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 可经过一系列初等变换化为 $B(\lambda)$ ,则称 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 等价

等价性质：

1.自反性：每个 $\lambda$ -矩阵与自身等价

2.对称性：若 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 等价,则 $B(\lambda)$ 与 $A(\lambda)$ 等价

3.传递性：若 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 等价, $B(\lambda)$ 与 $C(\lambda)$ 等价,则 $A(\lambda)$ 与 $C(\lambda)$ 等价

注：矩阵 $A(\lambda)$ 与 $B(\lambda)$ 等价的充要条件为有一系列初等矩阵 $P_1,P_2,\cdots,P_l,Q_1,Q_2,\cdots,Q_t$ ,使 $A(\lambda)=P_1P_2\cdots P_lB(\lambda)Q_1Q_2\cdots Q_t$

引理：设 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 的左上角元素 $a_{11}(\lambda)\neq 0$ ,且 $A(\lambda)$ 中至少有一个元素不能被它除尽,则一定可找到一个与 $A(\lambda)$ 等价的矩阵 $B(\lambda)$ ,它的左上角元素也不为零,但次数比 $a_{11}(\lambda)$ 的次数低

证明：

$1.若在A(\lambda)的第一列中有一个元素a_{11}(\lambda)不能被a_{11}(\lambda)除尽$

$则a_{i1}(\lambda)=a_{11}(\lambda)q(\lambda)+r(\lambda)$

$其中r(\lambda)\neq 0,\partial(r(\lambda))\lt \partial(a_{11}(\lambda))$

$对A(\lambda)作初等行变换$

$将A(\lambda)的第i行减去第一行的q(\lambda)倍可得$

$A(\lambda)=\begin{pmatrix}a_{11}(\lambda)&\cdots\\\vdots&\vdots\\a_{i1}(\lambda)&\cdots\\\vdots&\vdots\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}a_{11}(\lambda)&\cdots\\\vdots&\vdots\\r(\lambda)&\cdots\\\vdots&\vdots\end{pmatrix}$

$再将此矩阵的第一行与第i行互换可得$

$A(\lambda)\to \begin{pmatrix}r(\lambda)&\cdots\\\vdots&\vdots\\a_{11}(\lambda)&\cdots\\\vdots&\vdots\end{pmatrix}$

$B(\lambda)的左上角元素r(\lambda)符合引理要求$

$\therefore B(\lambda)为所求矩阵$

$2.在A(\lambda)的第一行中有一个元素a_{1i}(\lambda)不能被a_{11}(\lambda)除尽$

$类似1,对A(\lambda)作初等列变换$

$3.A(\lambda)的第一行与第一列中的元素都可被a_{11}(\lambda)除尽$

$但A(\lambda)中有另一个元素a_{ij}(\lambda)(i\gt 1,j\gt 1)不能被a_{11}(\lambda)除尽$

$设a_{i1}(\lambda)=a_{11}(\lambda)\varphi(\lambda)$

$对A(\lambda)作下述初等行变换$

$A(\lambda)=\begin{pmatrix}a_{11}(\lambda)&\cdots&a_{1j}(\lambda)&\cdots\\ \vdots& &\vdots&\vdots\\ a_{i1}(\lambda)&\cdots&a_{ij}(\lambda)&\cdots\\ \vdots& &\vdots&\vdots\end{pmatrix}$

$\to \begin{pmatrix}a_{11}(\lambda)&\cdots&a_{1j}(\lambda)&\cdots\\ \vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&a_{ij}(\lambda)-a_{1j}(\lambda)\varphi(\lambda)&\cdots\\ \vdots& &\vdots&\vdots\end{pmatrix}$

$\to \begin{pmatrix}a_{11}(\lambda)&\cdots&a_{ij}(\lambda)+(1-\varphi(\lambda))a_{1j}(\lambda)&\cdots\\ \vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&a_{ij}(\lambda)-a_{1j}(\lambda)\varphi(\lambda)&\cdots\\ \vdots& &\vdots&\vdots\end{pmatrix}=A_1(\lambda)$

$矩阵A_1(\lambda)的第一行中$

$有一个元素a_{ij}(\lambda)+(1-\varphi(\lambda))a_{1j}(\lambda)不能被左上角元素a_{11}(\lambda)除尽\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：任一非零的 $s\times n$ 的 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)$ 都等价于如下形式矩阵

$\begin{pmatrix}d_1(\lambda)\\ &d_2(\lambda)\\ & &\ddots\\ & & &d_r(\lambda)\\ & & & &0\\& & & & &\ddots\\ & & & & & &0\end{pmatrix}$

其中 $r\ge 1$ , $d_i(\lambda)(i=1,2,\cdots,r)$ 是首一的多项式,且 $d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)(i=1,2,\cdots,r-1)$

证明：

$经过行列调动后$

$可使A(\lambda)的左上角元素a_{11}(\lambda)\neq 0$

$若a_{11}(\lambda)不能除尽A(\lambda)的全部元素$

$\therefore 可找到与A(\lambda)等价的B_1(\lambda)$

$它的左上角元素b_2(\lambda)\neq 0,且次数比b_1(\lambda)低$

$如此下去,将得到一系列彼此等价的\lambda-矩阵$

$A(\lambda),B_1(\lambda),B_2(\lambda),\cdots$

$它们的左上角元素皆不为零$

$且次数越来越低$

$由次数为非负整数,不可能无止境降低$

$\therefore 在有限步后,将终止于一个\lambda-矩阵B_s(\lambda)$

$它的左上角元素b_s(\lambda)\neq 0$

$且可除尽B_s(\lambda)的全部元素b_{ij}(\lambda)$

$即b_{ij}(\lambda)=b_s(\lambda)q_{ij}(\lambda)$

$对B_s(\lambda)作初等变换$

$B_s(\lambda)=\begin{pmatrix}b_s(\lambda)&\cdots&b_{1j}(\lambda)&\cdots\\ \vdots& &\vdots&\vdots\\ b_{i1}(\lambda)&\cdots&\cdots&\cdots\\ \vdots& &\vdots&\vdots\end{pmatrix}$

$\to \begin{pmatrix}b_s(\lambda)&0&\cdots&0\\ 0\\ \vdots&A_1(\lambda)\\ 0\end{pmatrix}$

$在右下角的\lambda-矩阵A_1(\lambda)中$

$全部元素都是B_s(\lambda)中元素的组合,可被b_s(\lambda)除尽$

$若A_1(\lambda)\neq O,则对A_1(\lambda)可重复上述过程$

$进而将矩阵化成$

$\begin{pmatrix}d_1(\lambda)&0&\cdots&0\\ 0&d_2(\lambda)&\cdots&0\\ 0&0&\\ \vdots&\vdots&A_2(\lambda)\\ 0&0\end{pmatrix}$

$其中d_1(\lambda)与d_2(\lambda)都是首一多项式$

$d_1(\lambda)与b_s(\lambda)只差一个常数倍$

$且d_1(\lambda)|d_2(\lambda),d_2能除尽A_2(\lambda)的全部元素$

$如此下去,A(\lambda)最后就化成了所要求的形式\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：最后化成的这个矩阵称为 $A(\lambda)$ 的标准形

例：用初等变换化 $\lambda$ -矩阵 $A(\lambda)=\begin{pmatrix}1-\lambda&2\lambda-1&\lambda\\ \lambda&\lambda^2&-\lambda\\ 1+\lambda^2&\lambda^3+\lambda-1&-\lambda^2\end{pmatrix}$ 为标准形

具体步骤：

$A(\lambda)\to \begin{pmatrix}1-\lambda&2\lambda-1&1\\ \lambda&\lambda^2&0\\ 1+\lambda^2&\lambda^3+\lambda-1&1\end{pmatrix}$

$\to \begin{pmatrix}1&2\lambda-1&1-\lambda\\ 0&\lambda^2&\lambda\\ 1&\lambda^3+\lambda-1&1+\lambda^2\end{pmatrix}$

$\to \begin{pmatrix}1&2\lambda-1&1-\lambda\\ 0&\lambda^2&\lambda\\ 0&\lambda^3-\lambda&\lambda^2+\lambda\end{pmatrix}$

$\to \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&\lambda&\lambda^2\\ 0&\lambda^2+\lambda&\lambda^3-\lambda\end{pmatrix}$

$\to \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&\lambda&0\\ 0&\lambda^2+\lambda&-\lambda^2-\lambda\end{pmatrix}$

$\to \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&\lambda&0\\ 0&0&\lambda^2+\lambda\end{pmatrix}=B(\lambda)$

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