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矩阵的初等变换

矩阵的初等变换

作者: madao756 | 来源:发表于2019-11-22 09:06 被阅读0次

前言：矩阵的初等变换是重点，要好好学！

0X00 初等变换与矩阵等价

「初等行」变换以及「初等列」变换

假设我们有矩阵 A，r_i 表示第 i 行，c_j 表示第 j 列

初等行变换有三种情况：

  • r_i \leftrightarrow r_j
  • r_i \times k
  • r_i + k \times r_k

初等列变换有三种情况：

  • c_i \leftrightarrow c_j
  • c_i \times k
  • c_i + k \times c_k

矩阵等价

矩阵等价也有三种情况：

  • 如果矩阵 A 经过一系列初等行变换得到矩阵 B，则 A B 等价，记做 A \overset{r}{\Leftrightarrow} B
  • 如果矩阵 A 经过一系列初等列变换得到矩阵 B，则 A B 等价，记做 A \overset{c}{\Leftrightarrow} B
  • 如果矩阵 A 经过一系列初等列变换以及一系列行变换得到矩阵 A，则 A B 等价，记做 A \overset{c, r}{\Leftrightarrow} B

0X01 初等矩阵

基本定义

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

同样也有三种情况：

  • 两行（列）互换：

此种初等矩阵 E_1 的逆：E_1^{-1} = E_1

  • 把某行（列）乘以一非零常数 k

此种初等矩阵 E_2 的逆：E_2^{-1} = \frac{1}{k}E_2

  • 把第 i 行（列）加上第 j 行（列）的 k 倍

此种初等矩阵 E_3 的逆等于系数相反的变换

也就是 E_3 \overset{r_i - kr_j}{\rightarrow} E_3^{-1}

0X02 矩阵初等变化与矩阵乘法

现有以下两条定律：

对于矩阵：A_{m \times n}

  • 对 A 施行一次初等行变换等价于：左乘 m 阶进行同样初等行变换的初等行列式
  • 对 A 施行一次初等列变换等价于：右乘 n 阶进行同样初等列变换的初等行列式

总结来说就是：左行右列

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    本文标题：矩阵的初等变换

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