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之前我用了六篇文章来详细介绍了支持向量机SVM的算法理论和模型，链接如下：
实际上，支持向量机SVM确实是机器学习中一个非常重要也是非常复杂的模型。关于SVM的详细理论和推导，本文不再阐述，读者可以直接阅读上面的六篇文章。
学习完了复杂的理论知识，很多朋友可能非常想通过一个实际的例子，动手编写出一个SVM程序，应用到实际中。那么本文就将带领大家动手写出自己的SVM程序，并且应用到图像的分类问题中。我们将在经典的CIFAR10图像数据集上进行SVM程序验证。
话不多说，正式开始！
1. SVM的基本思想
简单来说，支持向量机SVM就是在特征空间中找到一条最佳的分类超平面，能够让正、负样本距离该超平面的间隔（margin）最大化。
以二维平面为例，确定一条直线对正负样本进行分类，如下图所示：
这里写图片描述
很明显，虽然分类线H1、H2、H3都能够将正负样本完全分开，但是毫无疑问H3更好一些。原因是正负样本距离H3都足够远，即间隔「margin」最大。这就是SVM的基本思想：尽量让所有样本距离分类超平面越远越好。
2. 线性分类与得分函数
在线性分类器算法中，输入为x，输出为y，令权重系数为W，常数项系数为b。我们定义得分函数s为：
[图片上传失败...(image-6b37d7-1528782147195)]
这是线性分类器的一般形式，得分函数s所属类别值越大，表示预测该类别的概率越大。
以图像识别为例，共有3个类别「cat，dog，ship」。令输入x的特征维度为4「即包含4个像素值」，W的维度是3x4，b的维度是3x1。在W和b确定后，得到各个类别的得分函数s为：
这里写图片描述
由上图可知，因为总有3个类别，得分函数s是3x1的向量。其中，cat score=-96.8，dog score=437.9，ship score=61.95。从s的值来说，dog score最高，cat score最低，则预测为狗的概率更大一些。而该图片真实标签是一只猫，显然，从得分函数s上来看，该线性分类器的预测结果是错误的。
通常为了简化计算，我们直接将W和b整合成一个矩阵，同时将x额外增加一个全为1的维度。这样，得分函数s的表达式得到了简化：
[图片上传失败...(image-f20a91-1528782147195)]
[图片上传失败...(image-6fba09-1528782147195)]
[图片上传失败...(image-390a7-1528782147195)]
示例图如下：
这里写图片描述
3. 优化策略与损失函数
通常来说，SVM的优化策略是样本到分类超平面的距离最大化。也就是说尽量让正负样本距离分类超平面有足够宽的间隔，这是基于距离的衡量优化方式。针对上文提到的例子，图片真实标签是一只猫，但是得到的s值却是最低的，显然这不是我们希望看到的。最好的情况应该是cat score最高。这样才能保证预测cat的概率更大。此时，利用SVM的间隔最大化的思想，就要求cat score不仅仅要大于其它类别的s值，而且要达到一定的程度，可以说有个最低阈值。
因此，这种新的SVM优化策略可以这样理解：正确类别对应的得分函数s应该比其它类别的得分函数s大一个阈值 Δ：
[图片上传失败...(image-95955a-1528782147195)]
接下来，我们就可以根据这种思想定义SVM的损失函数：
[图片上传失败...(image-1f9f84-1528782147196)])
其中，yi表示正确的类别，j表示错误类别。从Li的表达式可以看出，只有当syi比sj大超过阈值 Δ 时，Li才为零，否则Li大于零。这种策略类似于距离最大化策略。
举个例子来解释Li的计算过程：例如得分函数s=[-1, 5, 4]，y1是真实样本，令Δ=3，则：
[图片上传失败...(image-c70beb-1528782147196)]+max(0,4-5+3)=0+2=2)
该损失函数由两部分组成：y1与y0，y1与y2。由于y1与y0的差值大于阈值 Δ，则其损失函数为0；虽然y1比y2大，但差值小于阈值 Δ，则计算得到其损失函数为2。总的损失函数即为2。
这类损失函数的表达式一般称作合页损失函数「Hinge Loss Function」：
这里写图片描述
显然，只有当[图片上传失败...(image-79c8ef-1528782147196)]时，损失函数才为零。
这种合页损失函数的优点是体现了SVM距离最大化的思想；而且，损失函数大于零时，是线性函数，便于梯度下降算法求导。
除了这种线性hinge loss SVM之外，还有squared hinge loss SVM，即采用平方的形式：
[图片上传失败...(image-ba704c-1528782147196)]^2)
这种squared hinge loss SVM与linear hinge loss SVM相比较，特点是对违背间隔阈值要求的点加重惩罚，违背的越大，惩罚越大。某些实际应用中，squared hinge loss SVM的效果更好一些。具体使用哪个，可以根据实际问题，进行交叉验证再确定。
对于超参数阈值 Δ，一般设置 Δ=1。因为，权重系数W是可伸缩的，直接影响着得分函数s的大小。所以说，Δ=1 或 Δ=10，实际上没有差别，对W的伸缩完全可以抵消掉 Δ 的数值影响。因此，通常把 Δ 设置为1即可。此时的损失函数为：
[图片上传失败...(image-c26ea5-1528782147196)])
SVM中，为了防止模型过拟合，可以使用正则化「Regularization」方法。例如使用L2正则化：
[图片上传失败...(image-a9915a-1528782147196)]=\sum_k\sum_lw_{k,l}^2)
引入正则化项之后的损失函数为：
[图片上传失败...(image-bb3e15-1528782147196)])
其中，N是训练样本个数，λ 是正则化参数，可调。一般来说，λ 越大，对权重W的惩罚越大；λ 越小，对权重W的惩罚越小。λ 实际上是权衡损失函数第一项和第二项之间的关系：λ 越大，对W的惩罚更大，牺牲正负样本之间的间隔，可能造成欠拟合「underfit」；λ 越小，得到的正负样本间隔更大，但是W数值会变大，可能造成过拟合「overfit」。实际应用中，可通过交叉验证，选择合适的正则化参数 λ。
常数项b是否需要正则化？其实一般b是否正则化对模型的影响很小。可以对b进行正则化，也可以选择不。实际应用中，通常只对权重系数W进行正则化。
4. 线性SVM实战
首先，简单介绍一下我们将要用到的经典数据集：CIFAR-10。
CIFAR-10数据集由60000张3×32×32的 RGB 彩色图片构成，共10个分类。50000张训练，10000张测试（交叉验证）。这个数据集最大的特点在于将识别迁移到了普适物体，而且应用于多分类，是非常经典和常用的数据集。
这里写图片描述
这个数据集网上可以下载，我直接给大家下好了，放在云盘里，需要的自行领取。
链接：https://pan.baidu.com/s/1iZPwt72j-EpVUbLKgEpYMQ
密码：vy1e
下面的代码是随机选择每种类别下的5张图片并显示：
# Visualize some examples from the dataset.
# We show a few examples of training images from each class.
classes = ['plane', 'car', 'bird', 'cat', 'deer', 'dog', 'frog', 'horse', 'ship', 'truck']
num_classes = len(classes)
samples_per_class = 7
for y, cls in enumerate(classes):
idxs = np.flatnonzero(y_train == y)
idxs = np.random.choice(idxs, samples_per_class, replace=False)
for i, idx in enumerate(idxs):
plt_idx = i * num_classes + y + 1
plt.subplot(samples_per_class, num_classes, plt_idx)
plt.imshow(X_train[idx].astype('uint8'))
plt.axis('off')
if i == 0:
plt.title(cls)
plt.show()
这里写图片描述
接下来，就是对SVM计算hinge loss，包含L2正则化，代码如下：
scores = X.dot(W)
correct_class_score = scores[range(num_train), list(y)].reshape(-1,1) # (N,1)
margin = np.maximum(0, scores - correct_class_score + 1)
margin[range(num_train), list(y)] = 0
loss = np.sum(margin) / num_train + 0.5 * reg * np.sum(W * W)
计算W梯度的代码如下：
num_classes = W.shape[1]
inter_mat = np.zeros((num_train, num_classes))
inter_mat[margin > 0] = 1
inter_mat[range(num_train), list(y)] = 0
inter_mat[range(num_train), list(y)] = -np.sum(inter_mat, axis=1)
dW = (X.T).dot(inter_mat)
dW = dW/num_train + reg*W
根据SGD算法，每次迭代后更新W：
W -= learning_rate * dW
训练过程中，使用交叉验证的方法选择最佳的学习因子 learning_rate 和正则化参数 reg，代码如下：
learning_rates = [1.4e-7, 1.5e-7, 1.6e-7]
regularization_strengths = [8000.0, 9000.0, 10000.0, 11000.0, 18000.0, 19000.0, 20000.0, 21000.0]
results = {}
best_lr = None
best_reg = None
best_val = -1 # The highest validation accuracy that we have seen so far.
best_svm = None # The LinearSVM object that achieved the highest validation rate.
for lr in learning_rates:
for reg in regularization_strengths:
svm = LinearSVM()
loss_history = svm.train(X_train, y_train, learning_rate = lr, reg = reg, num_iters = 2000)
y_train_pred = svm.predict(X_train)
accuracy_train = np.mean(y_train_pred == y_train)
y_val_pred = svm.predict(X_val)
accuracy_val = np.mean(y_val_pred == y_val)
if accuracy_val > best_val:
best_lr = lr
best_reg = reg
best_val = accuracy_val
best_svm = svm
results[(lr, reg)] = accuracy_train, accuracy_val
print('lr: %e reg: %e train accuracy: %f val accuracy: %f' %
(lr, reg, results[(lr, reg)][0], results[(lr, reg)][1]))
print('Best validation accuracy during cross-validation:\nlr = %e, reg = %e, best_val = %f' %
(best_lr, best_reg, best_val))
训练结束后，选择最佳的学习因子 learning_rate 和正则化参数 reg，在测试图片集上进行验证，代码如下：
# Evaluate the best svm on test set
y_test_pred = best_svm.predict(X_test)
test_accuracy = np.mean(y_test == y_test_pred)
print('linear SVM on raw pixels final test set accuracy: %f' % test_accuracy)
linear SVM on raw pixels final test set accuracy: 0.384000
最后，有个比较好玩的操作，我们可以将训练好的权重W可视化：
# Visualize the learned weights for each class.
# Depending on your choice of learning rate and regularization strength, these may
# or may not be nice to look at.
w = best_svm.W[:-1,:] # strip out the bias
w = w.reshape(32, 32, 3, 10)
w_min, w_max = np.min(w), np.max(w)
classes = ['plane', 'car', 'bird', 'cat', 'deer', 'dog', 'frog', 'horse', 'ship', 'truck']
for i in range(10):
plt.subplot(2, 5, i + 1)
# Rescale the weights to be between 0 and 255
wimg = 255.0 * (w[:, :, :, i].squeeze() - w_min) / (w_max - w_min)
plt.imshow(wimg.astype('uint8'))
plt.axis('off')
plt.title(classes[i])
这里写图片描述
可以明显看出，由W重构的图片具有所属样本类别相似的地方，这正是线性SVM学习到的东西。
5. 总结
本文讲述的线性SVM利用距离间隔最大的思想，利用hinge loss的优化策略，来构建一个机器学习模型，并将这个简单模型应用到CIFAR-10图片集中进行训练和测试。实际测试的准确率在40%左右。准确率虽然不是很高，但是此SVM是线性模型，没有引入核函数构建非线性模型，也没有使用AlexNet，VGG，GoogLeNet，ResNet等卷积网络。测试结果比随机猜测10%要好很多，是一个不错的可实操的有趣模型。
完整代码，点击「源码」获取。
这里写图片描述
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