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杨辉三角
Part.1
一道智力测验题，请先观看视频
视频文字说明：
问题：
经过数年的实验， 你终于创造出了未来宠物—— 纳米兔子！它们很小且毛茸茸的....... 它们繁殖的速度快到肉眼看不见。
在你的实验室里，有36间"孵化小屋"， 以倒金字塔形式排列。最上面一层有8间。第1间有一只兔子， 第2间有2只兔子，以此类推， 最后一间有8只兔子。其它层的"小屋"都是空的—— 目前是空的。这些兔子雌雄同笼， 在每一间中的每一只兔子都会 与横向隔壁间的兔子交配一次， 每次都生出一只新兔子。新生出来的兔子会直接落到 父母住处正下方的那件“小屋”， 在几分钟之内就会长大， 可以换它们开始交配。每一间“小屋”可以容纳 10^80只纳米兔子—— 也就是是1后面加80个0—— 超过这个数字的话，他们就会 逃出“小屋”，占领世界。你通过计算，得出在最低下的“小屋”中 兔子的个数只有46位数—— 空间绰绰有余
但当你拉动操作杆要开始实验时，你的助理带着坏消息跑来。你竞争对手的实验室 破坏了你的程序代码， 所以你最后算出的结果 其实最后面的0都被切掉了。那就表示你其实不知道 最下面的“小屋”是否能 容纳所有的兔子—— 但繁殖已经开始了！更糟糕的是，你的设备和计算器都出故障了， 你只有几分钟的时间手动计算。最底层小屋中 兔子的数量应该含有多少个0？你需要去拉动紧急关闭的控制杆吗？
答案：
我们没有足够的时间算出 最后一间小屋中的兔子数目。好消息是，我们并不需要算出它。我们只需要算出 后面有多少个0。
但我们怎么能在不计算出 这个数目的情况下 知道后面有几个0呢？我们只知道，底层小屋的兔子数目 是经过相乘运算得到的—— 字面意义。每间小屋的兔子数目 是上面两间小屋中的兔子数目相乘。只有两种方法 可以透过乘法得到 后面有0的数字：把尾数是5的数字 和任何偶数相乘。或是将本身尾数就是0的数字相乘。
让我们来算一下 第二层的兔子数目， 看看会发现什么规律。有两个数字的尾数有0—— 第4间有20只兔子， 第5间有30只。没有尾数是5的数字出现。因为若要透过乘法 得到尾数是5的数字， 一定要用尾数是5的数字来乘， 因此可确定下面也不会 出现尾数是5的数字。那就表示: 我们只需担心 本身末尾是0的数字。有个小妙招可以知道 乘积的尾数有几个0， 那就是算出每个因数尾数的 0有几个，再将再们相加—— 比如，10 × 100 = 1000。
所以，我们从第二排第4、第5间的数目 着手开始向下相乘。20和30尾数都有1个0， 所有这两间相乘尾数会有2个0， 这两间小屋和其隔壁 数目尾数非0小屋相乘 得到的乘积尾数只有1个0。我们继续向下计算， 会算出在最底层小屋中的 兔子数目尾数有35个0。如果你不太担心纳米兔 可能带来的灾难， 你可能会注意到用这种方式计算0 会形成杨辉三角形。
将那35个0加在我们之前 算出的46位数字后面 得到一个81位数数字—— 超出小屋的容量！你跑过去，拉下紧急开关， 此时第7代兔子刚要长大—— 差一点点就要发生大灾难...
Part.2
杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年)一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律。
Part.3
稍加总结：
1. 若两个数乘积的个位为0，则两个数可能是个位是5与偶数的乘积或个位为0的数相乘。
2. 通过观察第二行的数字，只有20×30得个位为0。
3. 如果将0的个数写在表格中，得到：
46+35=81，即81位数。即超过了最大容量。
Part.4
杨辉三角用于二项式的展开：
二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。
Part.5
数字在杨辉三角中出现的次数
除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。
因为丢番图方程：
有无穷个解，所以出现至少六次的数有无穷个多。
3003是第一个出现八次的数。
若将每行数字相加，得到2的幂……
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