哈代把自己的书题名为《一个数学家的自辩》。自辩的原文是Apology，较难翻译。这个词起源很早，柏拉图对话中就有《申辩篇》，其中苏格拉底论述自己的道德观念，来回答起诉人对他的控告，明显地包含有自我辩护的成分。其后，基督教著述家为驳斥对基督教的指责，也起来为自己的信仰进行辩护。哈代这里用这个词，则是为纯粹数学和自己这样的纯粹数学家来辩解，同以前的论辩一样，一方面包括自我主张的申诉，另一方面有白己的对立面。他的对立面主要有两个:一个是“大众数学”，一个是应用数学。他自己为之辩护的，则是高雅数学和纯粹数学。对于两者的区分.他有一个特有的标准，那就是“无用”。
二 两类数学:有用的与无用的
哈代对有用的数学讲得十分清楚:“中小学里大部分数学都是有用的，例如算术、初等代数、初等欧氏几何、初等微积分。……大学数学中相当一部分也是有用的”[Hardy,1985,XXVI]。他接着说，如果有用的知识就是目前和不久将来可能有助于改进人类物质生活的知识，而不管在学术上令人满意与否，那么绝大部分高等数学都是无用的了。这里所谓高等数学是当时的比大学更高级的数学，包括近世代数、近世几何、集合论、函数论、数论，甚至还包括相对论和量子力学。由于他受当时水平限制，认为相对论和量子力学几乎像数论一样“无用”。虽然他认为某些“阳春白雪”式的纯粹数学会出人意料地变得“有用”，但他得出结论说，“任何一门学科与实际生活相联系的往往是其中平凡和乏味的部分”[Hardy,1985,XXV]。
显然，这个结论比较保守。不仅他当时认为没有用的数学在他去世半个世纪之后都变得有着不同程度的用处，而且连哈代想象不到的最新数学前沿也有这样那样的用处。更重要的是，许多前沿数学、不仅有着重要应用，而且有着哈代所喜欢的美学价值，如拓扑学、代数几何学、代数数论、李群和李代数等等学科一分支。哈代钟爱的数论，如素数的理论，是编码与密码学的重要工具。在哈代生前爆炸的原子弹，也不能说完全与相对论无关，更不能说和量子力学无关了。
难道说，哈代的结论完全错了吗?也对也不对。哈代过低估计了具有抽象性、普遍性的数学的不可思议的有用性和有效性。但是，哈代却清楚地认识到，纯粹数学正在走向更大的抽象性与普遍性的不可逆转的道路上。在这个道路上，不是有没有用的实用观点指导纯粹数学的发展，而是美学与艺术决定数学家的努力方向。美是数学的判定标准和指导原则。谈到美学原则有的数学家也谈了不少、这里面的确有品位的高下之分。哈代究竟是个大数学家，他知道什么样的数学是高雅的，什么样的数学是低俗的。他的确为我们举出了榜样，例如费马(P.deFermat,1601-1665),欧拉(L.Euler,1707-1783)、高斯(J.C.F.Gauss,1777-1855)、阿贝尔(N.H.Abel,1802-1829),黎曼(G.F.B.Riemann,1826-1866)、庞加莱(J.H.Poincare,1854-1912)等，其实我们现在仍然在享用他们的遗产。这个名单还应该加上刚刚结束的20世纪的最伟大的数学家:希尔伯特(D.Hilbert,l862-1943)、外尔(H.Weyl,l$85-1955),嘉当(e.J.Cartan,1869-1951)、冯·诺伊曼(J.vonNeumann,1903-1957)、柯尔莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov,1903-1987)、维纳(N.Wienner,1894-1964)等等。他们无一例外都是最伟大的纯粹数学家，同时又是杰出的应用数学家。在数学走向越来越专门、学科之间隔行如隔山的时代，正是他们开辟了全新的方向。他们超越了纯粹数学的美学标准，又超越了应用数学的实用标准，由于他们的超越，却出人意料地达到了纯粹数学与应用数学完美结合的最高境界，而这恐怕是哈代始料未及的。
参考文献：
Hardy,G.H.(1940a).
A9atJrenratician'sApolo}n.Cambridge:CambridgeUniversityPress
Hardy,G.H.(L940b).Ranurnujan.Cambridge:CambridgeUniversityPress.
Hardy,G.H.(1942).RussellarrdtheTrinih.[自费出版]
Hardy,G.H.(1985).L'apologied'unmathematician.D.JullienetS.Yoccoz.Paris:Belin.
哈代(1996).《一个数学家的辩白》(12-62页).李文林等编译.南京:江苏教育出版社.
哈代，维纳，怀特海(1999).《科学家的辩白》(3-80页).毛虹等译南京:江苏人民出版社
尼赫鲁(1956).《印度的发现》.北京:新华出版仕.
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