（本篇为了各位能够更清晰的理解十二平均律，我附了视频链接在文章的最后。文章里的大多数知识也是取自这两个视频。这篇文章没有插科打诨（严肃的知识幽默起来有难度）。而现阶段写文章我也主要是为了巩固知识。不过以后我会想办法让大家看的下去。）
上篇写的是音的性质，这一篇来讲一下十二平均律。
一般的教材是直接把十二平均律的规则讲出来——并不做解释。但是我觉得深入了解十二平均律对于后续基础乐理的学习很重要。所以单开一篇着重写一下十二平均律。
除了十二平均律，其实还有很多其他的律制，只是现今用的不多而已。
为什么呢？
因为相比于十二平均律，之前的五度相生律、纯律以及三分损益法（中国）在使用中不怎么适合复杂的音乐对于转调以及和声的需求。
首先，有两组关于乐理的物理知识要了解：
第一：一根弦在振动的时候除了整体，弦的各部分——1/2、1/3、1/4……也都在振动——把一根弦在振动的时候发出的所有的音（分音）从高到底排列起来，就叫做分音列。整体振动的时候产生的音就称为基音；1/2、1/3、1/4……这些分段的弦振动的时候产生的音就称为泛音，而全部的泛音的集合就是泛音列。
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在人耳听来，基音决定音高。泛音列决定音色。
关于基音决定音高的原因一般的解释是基音的强度最大。不过在音乐界，这是还没有定论的。再深究下去就要扯到神经科学了。这里就不细讲了。只要记住基音决定音高就可以了。
现存的乐理基本上就是前人总结的经验而已，很多地方都需要死记硬背。在到达一定的水平之后，再深入研究也不迟。
泛音列决定音色。为什么呢？在我分享的视频中有讲到——泛音列中有时候是第一个泛音比较突出，有时候是第二个泛音比较突出，也有可能是第十几二十几这些泛音比较突出（泛音是无穷无尽的），而这些不同就会导致乐器音色的不同。
你可以想象一个乐团，乐团有一个拿话筒的主唱（基音），主唱带着一个有无穷无尽的人的合唱团（泛音列），而里面的每个人则代表一个泛音。这样可能会比较好理解一点。
第二：频率（每秒振动次数）二倍关系的音在人耳这里听起来是一样的。以及，两组音的频率的比例一样时听起来距离是一样的。
乍一听比较抽象，下面来说一下我的理解，仅供参考。
首先，“频率二倍关系的音在人耳这里听起来是一样的”说的是大概一样。
就是说两个音是有重合的。比如一个基音为110赫兹（一秒振动110次）的乐器，它的第一泛音（二倍）为220赫兹。依此类推，后面的泛音的频率为：330 440 550 660……。由此，可以算出基音为220赫兹（二倍关系）的乐器的泛音分别为440 660 880……。
可以看出，基音为110赫兹以及220赫兹的两个音它们有一半的分音是重合的。
所以他们听起来相似。
（这里可配合视频观看）
另外：
“两组音的频率的比例一样时听起来距离是一样的”就比较好理解了——不是真听起来一样，说的是不同音域的同一首歌听起来是一样的。不管是只有两个音还是一整首歌，只要编排是一模一样的。听起来就是一样的。
你可以去全民K歌，在录歌的界面找到升降调。实际体验一下这个规律。这很重要。
这个乐理常识只能靠实验去感知，是个公理，不证自明的那种。
接下来就可以依靠上面的几个规律推导出来十二平均律了。
先给音律下个定义：乐音体系中各音的绝对值及相互关系叫音律。
前面讲了，在十二平均律之前还有一种应用得很广泛的律法——五度相生律。我们先讲一下五度相生律。
这样有助于更好地理解十二平均律为什么产生，以及它的作用。
五度相生律是出自于毕达哥拉斯之手。毕达哥拉斯很厉害。在哲学以及数学的很多方面都有贡献，可以说是开山的几位鼻祖。但是这里不多讲。这里只分析一下五度相生律的推算过程。
毕达哥拉斯学派认为“完美协和音程的频率比需为完美数的比例”。什么意思呢？意思是两个音一起弹的时候如果要好听的话，比例必须为自然数的比例。按照他们那时候的计算，这样的比例有三个：
纯八度：2比1
纯五度：3比2
纯四度：4比3
而五度相生律就是根据“纯五度”推算出来的。
首先，假设有一根弦（音），比如一根吉他的弦C1。把C1减去三分之一，这时候就只剩下了三分之二，我们暂时把这根弦命名为C2。那么C1和C2的比例就是3比2，也就是纯五度。再如此重复操作四次，加上初始的那个音的话就一共可以得出六个音：C1、C2、C3、C4、C5、C6。
这几个音就是C D E G A B的前身。
因为这时候可以发现，除了C1和C2。其它的音都超出了一个八度（如果弦少了一半的话也就等于是频率升了一倍，那么也就是等于升了一个八度。而七个基本音级都是在一个八度内的）。
那么怎么办呢？
把它们都翻几倍就行了，因为“频率二倍关系的音在人耳这里听起来是一样的”。
翻到超过2比1的那根虚线就行。
但是要记住，只能以二倍关系翻倍。
这时候所有音就都在一个八度内了。然后我们把它们从长到短排列，就可以得出音高从低到高的CDEGAB这六个基本音级。
不过还是少了F这个音。怎么把他求出来呢？把C1乘于3/2就行了。就能得出F这个音。这时候F比C1就等于3比2，符合了纯五度。如果要用图形表示的话，就是F在C1的上面，比C1长了二分之一。
按照这个方法，可以求出其余的降B、降E、降A、降D、降G。
这样五度相生律一共十二个音就全求出来了：C、D、E、F、G、A、B、降D、降E、降G、降A、降B。
看起来，五度相生律好像已经完美了，够用了。
但其实不是的，不然也不会在之后出现革命性的十二平均律。
在十二平均律之前的五度相生律、纯律，以及中国的三分损益法等等我们都可以统称为非平均律。而它们的缺点也就出在“非平均”。
对乐理有一定常识的人应该都知道。在钢琴中一个键经常有好几种叫法。也就是说他们的音高相同，但是有很多种叫法。在十二平均律中把这种情况称为等音。
但是这个常识只适用于十二平均律。而在十二平均律之前出现的那些律法中，有些音是无法达到这个在现在已经很容易实现的要求的。
比如五度相生律中的升F和降G——升F和降G在概念里应该是相等的。
然而它们在实际中不相等。
这就导致了非平均律对于转调以及和声不怎么适用。可能弹着弹着就偏了。也不好合奏。
这让非平均律无法演奏变化多端的，复杂的音乐。像是齿轮无法完美契合。而音乐跟文学或者其他的任何学科一样，随着年代愈久就会发展的越来越复杂（为了更好的表达）。从开始的一个人唱，到后来两个人的复调，再到加上和声以及转调。
而为了解决这个难题。十二平均律就被发明了出来。
最初发明十二平均律的是一个中国人。不过像很多中国的发明一样，发明是发明出来了——但也就止步于此了。
一段时间之后，欧洲也发明了十二平均律。
为了更好的转调，更好的和声。十二平均律直接就把一个八度平均分成了十二份。
这是个进步，但其实也可以说是一次妥协。
为什么呢？因为虽然十二平均律的发明解决了转调跟和声的难题，但也使每个音不再那么标准，不再那么和谐。
和谐是个什么概念？在数学上我觉得可以理解为音律中的每个音都可以对应上泛音列中的某个泛音。
在文化上——让我们回到毕达哥拉斯的那个时代。毕达哥拉斯学派对工整是很有执念的；曾经有个学生因为发现了无理数就被暗杀了。由此可以感知，和谐是个什么概念。
每个时代对音乐的感知是不一样的。五度相生律在已经用了上千年之后突然发生了变革。那个时代的人们当然会感觉不和谐。
另外，人耳对单个音的不和谐其实不是那么敏感。但是对一整个的音乐的变化的不和谐却有明显的感知。也正是出于这个原因，十二平均律才得以被发明出来。
再讲一遍：十二平均律直接把一个八度平均分成了十二份。所以在十二平均律中相邻的两个音之间的距离全都是一样的。不管是C和降D，还是E和F。
在十二平均律中，相邻两个音之间的距离我们把它称为半音。两个半音就等于全音。
十二平均律一共有十二个音，但是一般我们只用七个音来演奏，也就是七声调式。
这七个音就是从这十二个音中选取的。
白的键是基本音级，黑键是变化音级。
因而，也就发展出了很多怎么选取这七个音的方法，大小调式是常用的两种：
大调式：全全半全全全半
小调式：全半全全半全全
下面我举几个例子：
C大调（从C开头）：C D E F G A B C
D大调：D E 降G G A B 降D D
依此类推……
C小调：C D 降E F G 降A 降B C C
D小调：D E F G A 降B C D
依此类推……
另外，第八个音我们会把他去掉，因为他就是第一个音的高八度。而前面的七个音就是我们要的do re mi fa sol la si。
前面说了，十二个键的每个键都有多种写法，主要是为了方便；这个下期会讲到。这期为了知道调式这个概念我们先认识降号就行了。降号的作用就是：加了这个号的音需要降半音。
另外，说一些国际上的规定：
钢琴是把27赫兹到4000赫兹分成了七组多三个音。小字一组的C叫中央C，频率是261.6赫兹。
小字一组的A是440赫兹，被称为国际标准音（在钢琴的最中间）。
但是在历史上，各个国家的标准音的频率都是不一样的。这也就直接导致了每个国家自己的律法的各个音的频率都不一样。
而国际标准音的规定，就是为了更有助于现在各个国家间的音乐的交流。
有利有弊吧算是。
总结一下：
为了能更好的合奏，转调。在用了很久五度相生律之后，人们发明出了十二平均律。
我们现在学习十二平均律也是为了能更好的创造音乐。但是学无止境，音乐里一切规矩都是为了创造好音乐的工具而已。
视频链接：
1、https://m.bilibili.com/video/BV1yV411k7cG
2、https://m.bilibili.com/video/BV1rK4y1U7fG
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