第8课求解AX=b可解性和解的结构

作者: rascalpotato | 来源:发表于2019-06-12 22:49 被阅读0次

【MIT】08-Ax=b的可解性-解结构
第8课求解AX=b可解性和解的结构
MIT 线性代数 8.求解Ax=b 可解性和解的结构
扩展欧几里德
Conjugate gradient method
2021-01-11
gcd 与 egcd
考研线代之矩阵方程
C语言解方程的根和判断是否是闰年
点到线段的垂足

目标： $AX=b$ ,有解或无解。有解包括唯一解或多解

方程组左侧各行的线性组合得到0，那么右侧常数相同组合必然也等于0

$\underbrace{ \left[\begin{array}{cccc|c} 1&2&2&2&b_{1}\\2&4&6&8&b_{2}\\ 3&6&8&10&b_{3}\end{array} \right] }_{A}\\ \rightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1&2&2&2&b_{1}\\0&0&2&4&b_{2}-2b_{1}\\ 0&0&2&4&b_{3}-3b_{1}\end{array} \right]\\ \rightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1&2&2&2&b_{1}\\0&0&2&4&b_{2}-2b_{1}\\ 0&0&0&0&b_{3}-3b_{1}-b_{2}-2b_{1}\end{array} \right] \rightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1&2&2&2&b_{1}\\0&0&2&4&b_{2}-2b_{1}\\ 0&0&0&0&b_{3}-b_{2}-b_{1}\end{array} \right]$
__可解性：__b满足什么条件，才能让 $AX=b$ 总有解？

从列向量看，当b属于A的列空间时，也就是b必须是A各列的线性组合
从行向量看，A各行的线性组合得到零行，b中元素的同样组合必然也是零

求 $AX=b$ 的所有解：
1.将所有自变量设为0，解出主变量（列二，列四同时为0），得到剔除后的方程：
$\left \{ \begin{array}{} x_1+2x_3=1 \\ 2x_3=3\end{array} \right.\Rightarrow \left \{\begin{array}{1}x_1=-2\\x_3=3/2 \end{array} \right.\\ X特解为向量(-2，0，3/2，0)$
2.零空间的所有 $X$
1+2为方程的所有解。

$X_{p}+X_{n}=A\\ \begin{eqnarray*} AX_P=b \tag{1.1} \\ AX_n=0 \tag{1.2} \end{eqnarray*}\\ (1.1)+(1.2) = A(X_P+X_n)=b+0=b\\ X_{complete}= \underbrace{\begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix}}_{X_{p}}+ \underbrace{ C_{1}\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+ C_{2}\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix} }_{X_{n}}$

$X_n$ 为穿过 $X_p$ 的二维平面，由子空间从原点平移上来得到的平面。

考虑"秩" $r$ 的 $m*n$ 矩阵 $A$

$r$ 与 $m$ 的关系， $r \leq m$
$r$ 与 $n$ 的关系， $r \leq n$

首先讨论：

列满秩的情况 $r=n$ ,没有自由变量， $N(A) = \{0向量\}$

$AX=b$ 的解， $X=X_p$ 有唯一解或无解。

例：

$A=\begin{bmatrix}1&3\\2&1\\6&1\\5&1\end{bmatrix} R=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\end{bmatrix}$

唯一解： $b=A_{col_{1}}+A{col_{2}}$

行满秩的情况 $r=m$ ,消元时，不会出现零行 $AX=b$ ,对任意 $b$ , $AX=b$ 都有解

自由变量的个数 $n-r$ 满秩情况总有解，总共 $n-m$ 个自由变量

$A=\begin{bmatrix}1&2&6&5\\3&1&1&1\end{bmatrix}\\ R=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}$

总结:

$r=m=n$ 得到可逆阵

$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&1\end{bmatrix} R=I$ 有唯一解

$r=n<m$

$R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}$ 可能有0个或1个解

$r=n<m$

$R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}(I与F可能混搭，可能 F在前面)$ 总有解，无穷多解

$r<m,r<n$

$R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}$ 要么无解，要么无穷多解

矩阵的秩，决定了方程组解的数目，秩 $r$ 包含所有信息，除了具体计算结果之外

【MIT】08-Ax=b的可解性-解结构
内容第8讲主要是非齐次线性方程组Ax=b的可解性，解和解的结构。求解Ax=b：x = xp + xn，特解+通...
第8课求解AX=b可解性和解的结构
目标：,有解或无解。有解包括唯一解或多解方程组左侧各行的线性组合得到0，那么右侧常数相同组合必然也等于0 __可...
MIT 线性代数 8.求解Ax=b 可解性和解的结构
Ax=b有解的条件求解由前面的知识我们知道有解会满足的条件： 1.b向量刚好在A的列空间,即b可以由A的各列进...
扩展欧几里德
扩展欧几里得求解不定方程 ax+by=gcd(a, b) 的整数解对于方程 ax+by=c, 如果 gcd(a...
Conjugate gradient method
共轭梯度法。一种求解数学特定线性方程组Ax=b的数值解的迭代方法。要求矩阵A对称（symmetric）且正定（po...
2021-01-11
SLAM部分线性方程Ax = b 如何求解，A,b分别有什么要求？答：如果增广矩阵【A , b】的秩小于A的秩...
gcd 与 egcd
gcd(a,b)是求解a，b的最大公因数，都比较熟悉了，直接上代码： ax + by = gcd(a,b)egcd...
考研线代之矩阵方程
AX=B，实质就是求解多个A x=b，所有思路方法和求线性方程组一模一样的。需要注意把B看成整体，整体求解即可。...
C语言解方程的根和判断是否是闰年
没有结构性的摧毁，不会坠入万丈深渊。没有结构重塑，不能帮你跃出低谷。方程求根题目：解 ax^2+bx+c=0...
点到线段的垂足
一、解析函数求解第一种：设直线方程为ax+by+c=0,点坐标为(m,n) 则垂足为((b*b*m-a*b*...