4 拓扑量子计算
4.1 拓扑量子计算的提出
信息化时代对计算效率的要求与日俱增，基于经典计算方式的硬件和算法在不断得到发展的同时，计算效率上升的空间也日益局限。过去一个世纪，人类对量子世界的基本规律进行了大规模的探索，自80 年代开始，基于量子原理的计算方式的构想开始形成，其后逐渐演变成了两条研究主线，一条是研究基于量子原理的算法，另一条是研究基于量子系统的硬件实现。容错性和抵御退相干是实现量子计算亟需解决的问题，而具有拓扑性质的体系天然地具有这种优势。在这些材料中，受拓扑保护的非阿贝尔准粒子一方面具有抗环境干扰的鲁棒性，另一方面能通过交换彼此来改变量子态。拓扑量子计算的实现正是利用这些非阿贝尔任意子之间的交换来编码信息，并且通过系列的交换操作来实现任意的幺正变换，改变量子比特的状态。
量子态作为希尔伯特空间中的一个矢量，在特定坐标基矢下的投影即为波函数，而波函数的演化则由幺正变换来描述。与经典计算机利用0和1 两个不同状态存储信息不同，量子计算的基本储存单元是一个二维的希尔伯特空间，称作一个量子比特。量子态的线性叠加，为量子体系提供了巨大的可利用的信息存储和计算资源。然而，实现量子计算的瓶颈在于量子态的退相干。环境会导致体系发生退相干，即环境干扰造成的波函数坍缩。量子计算过程中的误差也有与经典计算不同的特点：一方面无法直接通过测量检测误差是否发生，另一方面量子态存在连续的相位误差，如a |0> + b|1> → a|0> + beiθ|1> (相位θ可以是任意的)。因此，控制误差也是量子计算的关键。
退相干和误差问题都可以通过利用体系的拓扑性质从根本上予以解决。什么是体系的拓扑性质呢？在数学中，拓扑主要研究几何对象在平滑变换下的不变性，比如进行拉伸、收缩等连续形变，但不对表面进行剪切或粘合，如此变换前后的几何对象被认为是拓扑等价的，存在一个拓扑不变量。因此，拓扑并不关注长度和角度等局域性质，只关注全局的性质，而全局的拓扑性质不会受局域的微扰而改变。在物理体系中，由于环境的干扰主要是以局域的相互作用形式来发生，所以拓扑的物理体系可免受环境的影响，这样环境所引起的退相干问题便迎刃而解。因此，拓扑量子计算作为一种容错的量子计算被人们在2003年前后正式提出。
然而，拓扑不变性并非哈密顿量的对称性，它是系统在低能极限下演生出的一种整体对称性，对于拓扑量子计算，寻找拥有拓扑准粒子的实际物理体系也是很重要的一个方面。拓扑量子计算是解决量子退相干的一种很好方案，拓扑性质隔绝了外界环境的影响。试想我们制备出了拓扑保护的初态，计算过程需要对量子态进行幺正演化，这可以通过对非阿贝尔任意子进行特定的交换操作来实现。
4.2 交换任意子
任意子是二维拓扑系统中的激发准粒子。如图8 所示，在3+1 维时空中，一个粒子围绕另一个粒子转动一圈，拓扑等价于平庸演化(两个粒子的世界线不发生缠绕)，故量子态不发生实质的改变，这等价于对两粒子进行两次交换操作。因此，进行一次交换操作时，量子态波函数的相位可允许的改变值是0 和π，分别对应于玻色子和费米子。然而，在2+1 维时空中，一个粒子围绕另一个粒子转动一圈是无法连续变换到平庸演化的(两个粒子的世界线发生缠绕)，因而允许有任意可能的相位产生，从而对交换操作所导致的相位也可以是任意的，所以在2+1 维时空中的粒子(准粒子)，从统计意义上来说可有别于玻色子和费米子，被称为阿贝尔任意子。比如，v=1/3 的分数量子霍尔态，它的准粒子为阿贝尔任意子，两个准粒子交换产生eiπ/3 的相位，并且这一相位不依赖于速度、路径形状等细节，受拓扑保护。
图8 考虑两个粒子(准粒子)的交换操作。粒子1(即γ1)可以按(a)图两种可能的轨迹行走，最后返回初始的地点。如果该过程发生在3+1 维时空中，则轨迹1 可以连续地变换到轨迹2 而无须经过任何奇点，因此二者是拓扑等价的，而轨迹1 可以进一步连续地收缩，拓扑等价地变换到平庸的路径，即完全没有移动。从粒子演化的世界线来看，无论是走哪条轨迹，粒子1 和粒子2 的世界线都没有发生缠绕，如图(b)所描述，拓扑等价于虚线所代表的平庸演化，其中横坐标示意三维空间。因此在粒子1 围绕粒子2 转了一圈(即轨迹2)回到初始点，该过程拓扑等价于什么都没有发生过，不存在记忆。然而该过程若是发生在2+1 维时空中，则轨迹2 无法连续地变换到轨迹1(除非轨迹跨过粒子2，而这是不被允许的)，因此轨迹2 并不等价于平庸演化，粒子1 回到初始点可以携带一个任意的相位作为记忆，其世界线如图(c)所描述，两粒子的世界线发生一次缠绕
更一般地说，对于有基态简并的物理体系，其任意子的交换还有可能导致物理态的转化，从而对多个粒子进行交换的结果可能取决于交换的顺序，这样的任意子被称为非阿贝尔任意子。对这些非阿贝尔任意子的系列交换操作在一定程度上实现了对量子比特的幺正变换。一系列的交换操作在准粒子的世界线(在时空中演化的轨迹)上来看相当于对世界线进行缠绕，并且这种缠绕操作完整地构成了一个群结构，常被形象地称为辫子群(braiding group)。事实上，对任意子的交换操作不仅可以用来实现幺正变换，而且还可以进行无破坏测量。
实验上如何实现任意子的交换呢？以MZM为例，对于存在于一维拓扑超导线和普通超导线的畴壁上的MZM，可以通过调节局域的化学势或磁场使畴壁移动，在如图9(a)中的T 形结上实现交换MZM。图中所示为3 个超导线组成的T形结，首先调节化学势，使左壁上的γ1移动到T 形节的下壁处，将右壁上的γ2移动到T 形节的左壁处，最后将γ1移动到T形节的右壁处，实现γ1与γ2的交换。对于二维的拓扑超导体系，Fu 和Kane提出在三维拓扑绝缘体表面覆盖s 波超导体来实现p+ip 超导。同时，他们建议在拓扑绝缘体表面覆盖多块不衔接的s 波超导的小岛，岛间形成特殊的约瑟夫森结(S—TI—S 结)；通过调节各个小岛的超导相位，使得只有特定的结点上形成等效的约瑟夫森涡旋，俘获MZM；进一步地可以通过调节每个小岛的超导相位来操纵约瑟夫森涡旋。在此过程中，由于MZM 总是局域在涡旋上，这等价于对MZM进行操纵，见图9(b)。
图9 MZM交换的示意图(a)在一维拓扑超导体(TS)和普通超导体(NS)的畴壁处的MZM，通过调节化学势实现MZM的移动，进一步完成两个MZM的交换；(b)二维Fu—Kane模型利用S—TI—S 约瑟夫森结进行交换的示意图，当ϕ = 0 时，只有上下两个结点形成了约瑟夫森涡旋，俘获一对MZM，通过调控ϕ 相位从0到2π的变化，可使这对涡旋顺时针移动(当ϕ = 2π/3 以及-2π/3 时，这对涡旋发生移动，以中心岛为原点沿顺时针方向移动到下一对结点处)，当ϕ 重新回到2π时，这对涡旋以及所携带的MZM发生了一次交换
对MZM的交换不仅可以进行幺正变换，还可以用于进行无破坏性的干涉测量。如图10 所示，在三维拓扑绝缘体表面覆盖s 波超导体(SC)和铁磁(FM)的绝缘体，构成了约瑟夫森结，在约瑟夫森结中心有一电荷Q和磁通Φ的区域。约瑟夫森结中可形成约瑟夫森涡旋，它与Abrikosov涡旋的相同点是中心都存在着MZM，不同点是约瑟夫森涡旋的运动遵循量子力学的规律，它们可以干涉。因此，当约瑟夫森结左臂中的约瑟夫森涡旋带着MZM从左向右运动时，上下两个路径即可形成干涉。涡旋的磁通为hc/2e，由Aharonov—Casher 效应，当磁通为hc/2e，环绕电荷为Q 时，干涉的相位因子为ϕAC = hc/2e Q/ℏc=πQ/e。由此，当约瑟夫森结中心的Φ=0 时，约瑟夫森涡旋电流Iv随电荷Q振荡
变化电荷Q 就可以观察到电流的振荡。而当Φ = hc/2e时，干涉所产生的相位因子，除Aharonov—Casher 效应的ϕAC =πQ/e外，还有约瑟夫森结中心Φ = hc/2e涡旋的相位割线对入射MZM γ的影响，使得(41)式中A=0，从而破坏振荡。因此，可从约瑟夫森涡旋电流Iv 有无振荡来判断约瑟夫森结的中心是否有磁通Φ ， 进一步判断是否有MZM。
图10 MZM干涉测量装置示意图(在约瑟夫森结中，不同路径的MZM可发生干涉)
4.3 交换MZM 以实现量子门操作
一对MZM 组成的厄米算符iγj1γj2 的本征值为±1，因此每对MZM可构成一个量子比特，作为量子计算的基本单元。对于一个包含2N 个MZM的体系，我们可以选择任意两个MZM配对作为一个量子比特，总共可以有N 个量子比特，而不同的MZM配对方案只是更换了不同的希尔伯特空间基矢，总体上仍然构成了相同的希尔伯特空间。另外，费米子系统的总费米数宇称守恒：对2N个MZM体系，费米数宇称算符为
其中P2=1，所以P=1 和P=－1 对应体系总的电子数分别为偶数和奇数。由此，尽管2N 个MZMs形成了N个量子比特，费米数宇称守恒的约束使得真正独立的量子比特数目变成N－1。
利用MZM存储信息，有两种编码方式：密集编码和稀疏编码。在密集编码中，2n+2 个MZM形成n 个独立量子比特，第k 个量子比特是iγ2k-1γ2k = ±1 的本征态，最后一对MZM保证系统费米数的奇偶性宇称守恒，因此它与整个体系的其他部分都发生纠缠。这种编码方式的优点是易于实现幺正门操作，缺点是最后一对MZM的误差会影响所有的量子比特。而在稀疏编码中，利用4n个MZM，每4个MZM作为一组形成一个计算的子空间，对每一组内的4 个MZM 要求满足γ4k-3γ4k-2 γ4k -1γ4k= -1 ，也就是说，一个组里的两个量子比特并不独立，二者的状态保持一致，从而使得费米子必成对出现，这样就能使每一组MZM都保证了体系的费米数宇称守恒。每组存在一个自由的量子比特，所以一共有n个独立量子比特。
量子计算以一系列基本门操作作为基础，这些门操作的组合可以生成任意的幺正变换。单比特的基本门操作有：Hadamard 门，泡利X门，泡利Y门，泡利Z门，π/8 相移门等。在费米子占据数表象下，以|0> ， |1> 为基矢，这些门操作的矩阵分别表示为
双比特的基本门操作有SWAP 门和控制门操作等。在控制门操作中，一个比特为控制比特，另一个比特为目标比特，只有当控制比特取值为1时，相应的门操作才会施加到目标比特上。在Dirac 费米子占据数表象下，以|00> ， |01> ， |10> ，|11> 为基矢，SWAP 门、控制非门(CNOT)和控制Z门(CZ)的矩阵表示分别为(控制门中以第一个比特为控制比特)
除此之外，还有多比特门操作。这些基本的门操作构成了量子计算的基础。
在二维的拓扑超导体系中，带奇数拓扑荷的涡旋会俘获一个MZM，于是通过对涡旋的操纵可以实现MZM的交换，从而改变由成对MZM构成的量子态。以稀疏编码为例，4 个MZM构成一个独立的量子比特， 其中偶费米数要求使得MZM粒子γ1 和γ2 构成的量子比特其状态与γ3 和γ4 所构成的量子比特状态一致，从而可以只用iγ1γ2 的本征值来标记量子比特状态。具体计算得到各交换操作的矩阵表示为
容易看出，U12U23U12可以生成Hadamard门：
同理，有Pauli门操作：
单比特门操作的示意图见图11。
图11 单比特门操作的示意图
对于双比特操作，可以从稀疏编码通过一定的测量手段转化为密集编码，在密集编码上进行操作，其后可以再次转换到稀疏编码。两个量子比特的密集编码需要6 个MZM (γ1，γ2，γ3，γ4，γ5，γ6) ，形成3组费米子(na，nx，nb)：
如图12所示。
图12 密集编码下，6 个MZM形成3 个比特的示意图(其中以量子比特a，b 的占据数为基矢)
我们选择
为基矢(nx由na，nb唯一确定，用来保证体系的费米数奇偶性守恒。一般地，我们假定6 个MZM体系的总费米数为偶数)，具体计算得到各交换操作的矩阵表示为
式中U的上标(6)表示这些矩阵所作用的空间为6个MZM以密集编码形式构成的2 个量子比特。容易看出，CZ门操作和CNOT门操作分别为
双比特门操作的示意图见图13。
图13 双比特门操作的示意图
以上是关于MZM编码信息和实现门操作的简单介绍，然而利用MZM难以实现π/8 相移的门操作，无法实现普适的拓扑量子计算，但最近已有新的方案提出，克服了这个困难。
5 总结和展望
通过以上的介绍，我们已经看到了如何从拓扑超导体系中产生Majorana 费米子，而且为什么MZM服从非阿贝尔统计。这一切的根源始于非平庸的费米子配对形式：无自旋费米子的配对必须服从奇宇称，最简单的是p+ip 配对，导致了超导态的拓扑性质，而不同拓扑区域之间的畴壁孕育了零能量的Majorana 模式。另一方面，描述费米子配对的序参量场的单值性要求其相位在围绕单个磁通一圈时的改变量只能是2π，而单个费米子的波函数只有一半的相位改变，所以费米子在跨越相位割线的时候只积累π的相位。于是作为电子与空穴线性叠加的MZM在彼此围绕一圈的时候，会积累π的相位，从而使MZM成为任意子。此外，两个MZM相当于一个Dirac 费米子，所以一个MZM 可以看成是分数化的Dirac 粒子——“半个电子”。MZM在交换时积累的非平庸相位将会改变由MZM两两配对得到的量子态，这便导致了MZM的非阿贝尔统计性质。
一百多年前，Onnes 发现了超导，半个世纪以前，Cooper 提出了费米子配对，用来解释超导现象。如今，人们发现，费米子配对的意义不仅仅是产生零电阻和迈斯纳效应以及约瑟夫森效应，而且还提供了形成Majorana 费米子的物理体系。在二维p+ip 拓扑超导中，通过约瑟夫森涡旋俘获MZM，调控超导相位操纵MZM，实现对其进行移动、交换和湮灭。可以预见，在不远的未来，凝聚态中的MZM探测与拓扑量子计算的实现将会取得重大突破，让我们看到了实现量子计算的曙光。
致谢感谢中国科学院物理研究所吕力研究员有益的讨论。
本文选自《物理》2017年第3期（原自中国物理学会期刊网）
作者：张广铭 等
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