矩阵解方程

作者: 和谐共处 | 来源:发表于2021-08-27 18:41 被阅读0次

方程组：
$\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ -6x + 6y = 6 \\ \end{cases}$
矩阵表示：
$\left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ -6 & 6 \\ \end{matrix} \right] \ast \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 7 \\ 6 \\ \end{matrix} \right]$
令：
$A= \left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ -6 & 6 \\ \end{matrix} \right] , B= \left[ \begin{matrix} 7 \\ 6 \\ \end{matrix} \right]$

则：
$\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]= A ^{-1} \ast B$
由矩阵的逆矩阵定律知道：
$A ^{-1} = \frac{1}{｜A｜} \ast A^{*}$
定理：
$设A= \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right] , 当｜A｜= ad-bc \neq 0时，有$
$A ^{-1} = \frac{1}{｜A｜} \ast A^{*} = \frac{1}{ad-bc}\ast \left[ \begin{matrix} d & {-b} \\ {-c} & a \\ \end{matrix} \right]$
可得到：
$A ^{-1} = \frac{1}{30} \ast \left[ \begin{matrix} 6 & -2 \\ 6 & 3 \\ \end{matrix} \right]$
则得到方程的解为：
$\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right] = \frac{1}{30} \ast \left[ \begin{matrix} 6 & -2 \\ 6 & 3 \\ \end{matrix} \right] \ast \left[ \begin{matrix} 7 \\ 6 \\ \end{matrix} \right] = \frac{1}{30} \ast \left[ \begin{matrix} 30 \\ 60 \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right]$
$\begin{cases} x = {1} \\ y = {2} \\ \end{cases}$