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微积分学习笔记-平面曲线的长度

微积分学习笔记-平面曲线的长度

作者: LonnieQ | 来源:发表于2019-11-27 23:53 被阅读0次

光滑曲线长度的弧长公式

若f在[a, b]上是光滑的，从a到b的曲线y = f(x)的弧长是
L = \int _a^b \sqrt {1+(\frac{dy}{dx})^2}dx
若f在[c, d]上是光滑的，从c到d的曲线x = f(y)的弧长是
L = \int _c^d \sqrt {1+(\frac{dx}{dy})^2}dy

例1 求曲线\frac{4\sqrt 2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 1, 0 \leq x \leq 1.

\frac{dy}{dx} = 2\sqrt 2 . x ^{\frac{1}{2}}
L = \int _0^1 \sqrt {(1 + \frac{dy}{dx})}dx
= \int_0^1(1+8x)dx
=[\frac{(1+8x)^{\frac{3}{2}}}{12}]_0^1
=\frac{13}{6}

处理\frac{dy}{dx}的不连续性
若曲线上某一点\frac{dy}{dx}不存在时，我们可以通过把x表示成y的函数求曲线弧长。

例2 求从x = 0到x = 2的曲线y = (x/2)^{\frac{2}{3}}的弧长。

导数
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(\frac{2}{x})^{\frac{1}{3}}在x处没定义。改写x为y的方程
x = 2y^{\frac{3}{2}}
\frac{dx}{dy} = 3\sqrt y
L =\int_0^1 \sqrt {1+(\frac {dx}{dy})^2}dy
= \int_0^1 \sqrt {1 + 9y} dy
= [\frac{1}{9} . \frac{2}{3} (1 + 9y)^{\frac{3}{2}}]_0^1
= \frac{2}{27} (10\sqrt {10} - 1) = 2.27

定义 弧长微分和弧长微分公式

ds = \sqrt {dx^2 + dy^2}
L = \int ds

弧长的参数公式

如果曲线C用参数方程x = f(x), y = g(t), \alpha \leq t \leq \beta表示, 其中f'和g'是连续的并且在[\alpha, \beta]上不同时为0， 并且当t从\alpha增加到\beta时，C刚好被经过一次，则C的弧长是：
L = \int _{\alpha}^{\beta} \sqrt {(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt

例3. 求星形线
x = cos^3t, y = sin^3t, 0 \leq t \leq 2\pi
的弧长。
星形线在[0, 2\pi]的弧长是它在[0, 0.5\pi]的弧长的4倍。
(\frac{dx}{dt})^2 = [3cos^2t(-sint)]^2 = 9cos^4tsin^2t
(\frac{dy}{dt})^2 = [3sin^2t(cost)]^2 = 9cos^2tsin^4t
L = 4 * \int_0^{0.5\pi} \sqrt {9sin^2tcos^2t(sin^2t + cos^2t)} dt
= 4 * \int_0^{0.5\pi}3|sin(t)cos(t)|dt
= 6 * \int_0^{0.5\pi} sin(2t) dt
= 3 * [cos(2t)]_{0.5\pi}^{0}
= 3 * (1 - (-1)) = 6

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