博弈论-信息集和子博弈完美

• 本节主要内容：分析同时存在同步竞价和贯序博弈的场景，扩展逆行归纳法的应用

游戏：

• 假设：在这个游戏中参与人2无法分辨上和中，也就是说如果参与人1选择上和中，那么参与人2只知道参与人选了上或中

• 在假设下，参与人1可能不会选择下，因为选择下时，参与人2可以知道参与人1的准确选择，而这里参与人1可能会随机选择上和中

• 定义：参与者i(2)的信息集合，是一系列参与人i(2) 无法识别的参与人i的节点

  • 不允许下面的情况存在,因为如果她有三个选择就意味着，参与人1选择了M
  • 不允许下面情况存在，因为如果参与人1在第二次博弈的时候可以根据所在节点知道参与人二的选择

• 完美信息定义：树图上所有的信息集合只包含一个节点博弈，也就是没有竖线的存在，即每个参与人都知道之前的行动

• 非完美信息定义：在树图中存在竖线的博弈，即存在信息集合包括不少于两个节点

• 信息集合加上树图可以表示同步博弈

• 纯策略：参与人i的纯策略是一个完全行动计划，他告诉参与人在他的每一个信息集合一定要怎么做

• 例子：

  • 树图1
  • 树图2

  • 参与人1有UD两种策略，参与人2有LMR三种策略

  • 结论：树图1、2拥有相同的收益矩阵说明时序在这里不是主要影响博弈结果的因素

  • 收益矩阵：
    策略 | L|M|R
    ---|---|---|---
    U | a1,a2|b1,b2|c1,c2
    D | d1,d2|e1,e2|f1,f2

游戏：三个参与人

• 树图（参与人3处存在一条竖线，即信息集合）

  
  

• 收益矩阵：

参与人执行策略A时2,3收益矩阵：

策略	l	r
U	1,0,0	1,0,0
D	1,0,0	1,0,0

参与人执行策略B时2,3收益矩阵：

策略	l	r
U	0,1,1	0,0,2
D	0,0,-1	2,1,0

• (A,u,l)是纳什均衡，但不是可信纳什均衡，因为如果参与人1由A策略变成B策略，那么2,3存在一个子博弈，而且由下表可以看出，子博弈只存在一个纳什均衡(D,r)，从这里看出如果进入子博弈，那么无法达到(A,U,l)这个纳什均衡，所以它不是SPE
• 子博弈矩阵如下：

策略	l	r
U	1,1	0,2
D	0,-1	1,0

• 定义：子博弈是博弈中的一部分，他有三个性质，即满足以下三个条件：
  • 子博弈必须从单个节点开始
  • 子博弈包括该节点的所有后代节点
  • 子博弈不能破坏任何信息集合，即不能只把信息集合中的一个节点放入子博弈中而必须把所有节点放入子博弈中
    定义：如果纳什均衡能在任一子博弈中达到纳什均衡，那他就是一个子博弈完美均衡(SPE)