游戏：两性战争，约会博弈
| choice | a | b |
|---|---|---|
| a | 0,0 | 2,1 |
| b | 1,2 | 0,0 |
- 找到对称博弈中的纳什均衡？
在这个博弈里没有纯对称纳什均衡，在这个博弈中只有顺从或者反抗，a,b代表顺从和反抗，这里没有进化稳定，所以这里要采用混合策略
- 进化稳定纯策略和进化稳定相似，我们称为单态，也就是说只有一种进化形态或一种类型，而稳定的混合态叫做多态，也就是说有单型种群也有单型种群
- 进化稳定性的定义3（混合策略）：在一个双参与人的博弈中，混合策略S是稳定策略必须满足以下两个条件：
- (P,P)是对称纳什均衡，对称纳什均衡意味着payoff(P,P)>=payoff(P',P)
- 如果payoff(P,P)=payoff(P',P)，那么payoff(P,P')>payoff(P',P')
这里与定义2没有区别只是允许了混合的出现
- 在一个混合策略中，所有的纯策略的收益都是一致的
- 如果只有一种种群存在时，可以看出突变的个体会逐渐增加，最终多会达到混合纳什均衡
游戏：鹰-鸽子游戏
鹰被认为是进攻型，鸽子被认为是防守型
| choice | H(P) | D(1-P) |
|---|---|---|
| H(P) | (V-C)/2,(V-C)/2 | V,0 |
| D(1-P) | 0,V | V/2,V/2 |
- 在斗争中奖励是V，V>0，斗争的代价是C，C>0
- D是否是进化稳定策略？
- (D,D)不是纳什均衡？ 不
- H是否是进化稳定策略？
- (H,H)是否是纳什均衡？ 如果(V-C)/2>0，那么是严格纳什均衡，如果是等号则是弱纳什均衡
- 即便C>V,也不会出现只有D存在的情况，而是会出现一种混合情况
- 怎样找到一个混合纳什均衡？
鸽子采用两种策略下的收益相等，达到混合策略纳什均衡，p=V/C
u(H,p)=p*(V-C)/2+(1-p)V
u(D,p)=p*0+(1-p)*V/2
- 结论1：如果V<C，那么进化稳定的种群中鹰派数量是V/C，随着V增加，那么鹰派会增加，当C增加，我们会看到更多鸽派
- 结论2：在进化稳定策略下，鹰和鸽子都可能更多。双方的收益是(1-V/C)(V/2),和我们想象中不同的是，随着C增加，收益没有下降反而上升
游戏：抓咬踩(1<V<2)
| choice | S | B | T |
|---|---|---|---|
| S | 1,1 | V,0 | 0,V |
| B | 0,V | 1,1 | V,0 |
| T | V,0 | 0,V | 1,1 |
- 唯一的混合策略均衡是(1/3,1/3,1/3)，但不是进化稳定的
验证：u(p,p')是否大于u(p',p'),p是1/3，因为u(p,p')小于u(p',p')，而混合策略是唯一可能的稳定状态，但是由于小于，所以不存在进化稳定
教学视频：耶鲁公开课
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