By LongLuo
机器学习中需要训练大量数据,涉及大量复杂运算,例如卷积、矩阵等。这些复杂运算不仅多,而且每次计算的数据量很大,如果能针对这些运算进行优化,可以大幅提高性能。
一、矩阵乘法
假设为的矩阵,为的矩阵,那么称的矩阵为矩阵与的乘积,记作,称为矩阵积(matrix product)。
其中矩阵中的第行第列元素可以表示为:
如下图所示:
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假如在矩阵和矩阵中,,那么完成需要多少次乘法呢?
- 对于每一个行向量 ,总共有行;
- 对于每一个列向量,总共有列;
- 计算它们的内积,总共有次乘法计算。
综合可以看出,矩阵乘法的算法复杂度是:。
二、Strassen算法
那么有没有比更快的算法呢?
1969年,Volker Strassen提出了第一个算法时间复杂度低于矩阵乘法算法,算法复杂度为。从下图可知,Strassen算法只有在对于维数比较大的矩阵 () ,性能上才有很大的优势,可以减少很多乘法计算。
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Strassen算法证明了矩阵乘法存在时间复杂度低于的算法的存在,后续学者不断研究发现新的更快的算法,截止目前时间复杂度最低的矩阵乘法算法是Coppersmith-Winograd方法的一种扩展方法,其算法复杂度为。
三、Strassen原理详解
假设矩阵 和矩阵都是的方矩阵,求,如下所示:
其中
矩阵 C 可以通过下列公式求出:
从上述公式我们可以得出,计算2个的矩阵相乘需要2个的矩阵8次乘法和4次加法。我们使用表示矩阵乘法的时间复杂度,那么我们可以根据上面的分解得到下面的递推公式:
其中,
- 表示8次矩阵乘法,而且相乘的矩阵规模降到了。
- 表示4次矩阵加法的时间复杂度以及合并矩阵的时间复杂度。
最终可计算得到。
可以看出每次递归操作都需要8次矩阵相乘,而这正是瓶颈的来源。相比加法,矩阵乘法是非常慢的,于是我们想到能不能减少矩阵相乘的次数呢?
答案是当然可以!!!
Strassen算法正是从这个角度出发,实现了降低算法复杂度!
Strassen实现步骤
实现步骤可以分为以下4步:
-
按上述方法将矩阵分解(花费时间。
-
如下创建10个的矩阵(花费时间 。
-
递归地计算7个矩阵积,每个矩阵都是 的。
注意,上述公式中只有中间一列需要计算。 -
通过计算,花费时间。
综合可得如下递归式:
进而求出时间复杂度为:
四、Strassen算法的代码实现
我们以MNN中关于Strassen算法源码实现来学习:https://github.com/alibaba/MNN/blob/master/source/backend/cpu/compute/StrassenMatmulComputor.cpp。
类StrassenMatrixComputor提供了3个API供调用:
API | 说明 |
---|---|
_generateTrivalMatMul(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT); | 普通矩阵乘法计算 |
_generateMatMul(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT, int currentDepth); | Strassen算法的矩阵乘法 |
_generateMatMulConstB(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT, int currentDepth); | Strassen算法的矩阵乘法(和MatMul的区别在于内存Buffer是否允许复用) |
我们以_generateMatMul为例来学习下Strassen算法如何实现,可以分成如下几步:
第一步:使用Strassen算法收益判断
在矩阵操作中,因为需要对矩阵的维数进行扩展,涉及大量读写操作,这些读写操作都需要大量循环,如果读写次数超出使用Strassen乘法的收益的话,就得不偿失了,那么就使用普通的矩阵乘法。
/*
Compute the memory read / write cost for expand Matrix Mul need eSub*lSub*hSub*(1+1.0/CONVOLUTION_TILED_NUMBWR), Matrix Add/Sub need x*y*UNIT*3 (2 read 1 write)
*/
float saveCost = (eSub * lSub * hSub) * (1.0f + 1.0f / CONVOLUTION_TILED_NUMBWR) - 4 * (eSub * lSub) * 3 - 7 * (eSub * hSub * 3);
if (currentDepth >= mMaxDepth || e <= CONVOLUTION_TILED_NUMBWR || l % 2 != 0 || h % 2 != 0 || saveCost < 0.0f)
{
return _generateTrivialMatMul(AT, BT, CT);
}
第二步:分块
将矩阵3个矩阵都分成4块:
auto aStride = AT->stride(0);
auto a11 = AT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 0 * aStride * lSub;
auto a12 = AT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 1 * aStride * lSub;
auto a21 = AT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 0 * aStride * lSub;
auto a22 = AT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 1 * aStride * lSub;
auto bStride = BT->stride(0);
auto b11 = BT->host<float>() + 0 * bUnit * lSub + 0 * bStride * hSub;
auto b12 = BT->host<float>() + 0 * bUnit * lSub + 1 * bStride * hSub;
auto b21 = BT->host<float>() + 1 * bUnit * lSub + 0 * bStride * hSub;
auto b22 = BT->host<float>() + 1 * bUnit * lSub + 1 * bStride * hSub;
auto cStride = CT->stride(0); auto c11 = CT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 0 * cStride * hSub;
auto c12 = CT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 1 * cStride * hSub;
auto c21 = CT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 0 * cStride * hSub;
auto c22 = CT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 1 * cStride * hSub;
第三步:分治和递归
Strassen算法核心就是分治思想。这一步可以写成下列所示伪代码:
1. If n = 1 Output A × B
2. Else
3. Compute A11,B11, . . . ,A22,B22 % by computing m = n/2
4. P1 Strassen(A11,B12 − B22)
5. P2 Strassen(A11 + A12,B22)
6. P3 Strassen(A21 + A22,B11)
7. P4 Strassen(A22,B21 − B11)
8. P5 Strassen(A11 + A22,B11 + B22)
9. P6 Strassen(A12 − A22,B21 + B22)
10. P7 Strassen(A11 − A21,B11 + B12)
11. C11 P5 + P4 − P2 + P6
12. C12 P1 + P2
13. C21 P3 + P4
14. C22 P1 + P5 − P3 − P7
15. Output C
16. End If
例如其中的一步代码如下所示:
{
// S1=A21+A22, T1=B12-B11, P5=S1T1
auto f = [a22, a21, b11, b12, xAddr, yAddr, eSub, lSub, hSub, aStride, bStride]() {
MNNMatrixAdd(xAddr, a21, a22, eSub * aUnit / 4, eSub * aUnit, aStride, aStride, lSub);
MNNMatrixSub(yAddr, b12, b11, lSub * bUnit / 4, lSub * bUnit, bStride, bStride, hSub);
};
mFunctions.emplace_back(f);
auto code = _generateMatMul(X.get(), Y.get(), C22.get(), currentDepth);
if (code != NO_ERROR)
{
return code;
}
}
递归执行,得到最终结果!
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