题目为

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（来源：https://gaokao.eol.cn/shiti/zhenti/202007/t20200709_1737395_4.shtml）

不是教别人做高考题，这里硬求导考场上容易错也没时间，而是作为 sympy 的参考。

import sympy as sp

第一问

x = sp.symbols('x')

f = sp.exp(x) + x**2 - x

f_p = f.diff(x)
f_p

f_p.subs(x, 0)

f_pp = f.diff(x, 2)
f_pp

一阶导数在 0 处值为 0，二阶导数恒大于 0，则负无穷到 0 单调递增，0 到正无穷单调递减。

第二问

先移项得到

求左侧的极大值就好，这里要求 x > 0，x = 0 题目中的不等式恒成立，对 a 的取值无限制。

g = (x + 0.5 * x**3 + 1 - sp.exp(x)) / x**2
g

g_p = sp.simplify(g.diff(x))
g_p

sp.factor(g_p)

m = 0.5*x**2 + x - sp.exp(x) + 1
m

m_p = m.diff(x)
m_p

sp.solve(m_p)[0]

m_pp = m.diff(x, 2)
m_pp

m.subs(x, 0)

一阶导在 0 处取 0，二阶导数 x 大于 0 时恒负，故一阶导大于 0 时恒负，又原函数在 0 处取 0，故原函数导大于 0 时恒负，不存在根。

所以 g(x) 的一阶导数只在 0 或 0.5 取 0

g_pp = g.diff(x, 2)
g_pp.subs(x, 0.5)

二阶导小于 0，极大，从而求得 的极小值

g.subs(x, 2)