思考
【 何为“有理数 ”】
七年级第一章课程内容为《有理数》，记得暑期大教研之时，我将我整理的脑图和上课思路展示在各位老师的面前时，干老师突然问：“什么是有理数？你这开端就有问题。”
我当时自信满满地说：“整数和分数统称为有理数，课本第一章就是这么安排的，哪里有什么问题呢？”
干老师又问：“整数和分数本来就存在的，干嘛又要叫有理数呢？再者你把小数置于何地？”
我猜测：“是不是因为负数的出现呢？负数出现后数系就扩大到了有理数范围？”
干老师说：“不是，如果按照这样的流程走下去，孩子们永远不会明白什么是有理数，有理数到底是怎么产生的。这样和传统的灌输式教育就没有什么区别了，就丧失了我们所做教育的本质了。”
那到底何为有理数呢？
难道不是整数和分数统称为有理数吗？
可这样小数该怎么处理呢？
被干老师一逼问，这些习焉不察的问题突然暴露在了我的面前，让我认识到了我设计的不足和弊端。
干老师说得没错：如果这样下去，孩子们也会和我一样，自始至终不会真正地明白什么是有理数，有理数是怎么产生的。
经过漫长的思考和不断的教研打磨，我逐渐明确了思路。
首先就是要搞清楚何为“有理数”。
有理数的产生，是数系扩充的必然结果，是人类文明发展所导致的，具有数系扩充的一致性。
《道德经》有云“有无相生”，有理数的出现必定和无理数的出现是是相关联的，是同时被命名的。但在有理数被命名之前，并不代表后期被归类为有理数的数不存在，例如：“1、2、3.22”等分数、整数，它们本来就存在。但是在未被命名为有理数的时候，它们就不是有理数，正所谓“无名，天地之始；有名，万物之母”也。
但如果这样给学生进行展示，未免太过于唐突，知识的整体性也无法体现。因此，要带领孩子们一起穿越整个实数范围的数系发展过程，在感知数与计数、自然数、分数、小数以及到有理数的产生中逐步延伸、梳理清目前为止数的基本框架。让学生自己在脑海里面建构起“为什么整数和分数统称为有理数”等概念。
【数和计数的发展】
远古时期的人类在生活中遇到了许多无法解决的困难：原始人为了生存，他们在长期的狩猎和食物分配中逐渐出现了“有”和“无”的概念，以后逐渐形成“多”与“少”的概念，然后在对比中出现了“1”与“多”的区别,随着时间的推移慢慢地产生了数的概念。当时人们的认知里，超过3的物体都是“许多”。
这是我们认知的潜意识的直观性：超过3个的物体，我们都要通过内心的数数或者计算来确定；而小于等于3个的物体，我们可以直观地进行判断。
我国伟大的哲学家在阐述“宇宙生成论”时就说：“道生一，一生二，二生三，三生万物”，大致就是这个意思。
而“4”以及“5、6、7……”等每一个数的产生，都是一个历史性的时刻。
在存储、交换中，需要数数和比较，则需要记录数量，此时则产生计数，计数的过程经历了手指计数——实物计数——刻痕技术（初步符号计数）——符号计数等一个漫长的过程。
远古时期的计数方式
数码符号表（图片来自网络）
中国的筹算：用竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。
古代的算筹
【自然数的产生】
最初不论在哪个地区，数的概念都是从1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是计数的符号却各不相同。
【补充内容】
1..古罗马数字
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1000）。如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“0”。其实在公元5世纪时，“0”已经传入罗马，但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何人使用"0"。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶(zan)刑，使他再也不能握笔写字。
2..阿拉伯数字并不是阿拉伯人发明的
阿拉伯数字是印度人在公元六世纪左右创造的，之后流传到阿拉伯，后人误认为是阿拉伯人发明，故称之为“阿拉伯数字”。由于它们便于书写，被沿用至今。
3.“魔鬼数字”—“0”
由于一些原因，在引入“0”符号到西方时，曾经引起西方人的困惑， 因当时西方认为0这个数字会使很多算式，逻辑不能成立(如除以0)，甚至认为0是魔鬼数字，而被禁用.例如罗马数字中就没有0；直至约公元15，16世纪“0”才逐渐被西方人所认同，一度被认为是“魔鬼数字”的它被接受后才使西方数学有快速发展。
中国人认可0要比西方早上千年， “零”的概念出现比较早（中西方都如此），最初人们在记数和计算时，由于需要记录和计算的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法，由于这种记数法的产生，在表示“没有”和“空位”时就产生了初步的“零”的概念。
值得提出的是，中文中的“零”最初并不表示“空无所有”，只表示“零碎”、“不多”的意思。随着阿拉数字的引进。“零”字与“0”恰好对应，因此，“零”也就具有了“0”的含义。
以上所说的数都是自然而然产生的数，被名为“自然数”（除了0，0被视为自然数是在非常晚的，我国在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》中才规定自然数包括0。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。），此时此刻的数只指自然数。
数皆为自然数
【分数的产生】
分数的概念
随着生产的发展，在分物的时候，由于人数和物体不能进行一一对应的匹配，出现物少人多且要进行公平分配时，往往不能正好得到整数的结果，也就产生了自然数不能进行表述的矛盾；以及在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中，都需要进行测量．在测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地度量下去，就必然产生自然数不够用的矛盾。二者结合的促使下，分数就应运而生（分物和测量促使分数产生的前后，谁先谁后不能定夺，个人认为分物应该在前）。
据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于分数的问题．而我国在2000多年前，也有了分数，只是那个时候的分数的表现形式与现在的不一样而已。
值得一提的是当时的印度也出现了和我国相似的分数表示法。引进分数，这是数的概念的第一次扩展。在整个历史长河中分数也起到了非常重要的作用，开始人们只使用简单的分数，如一半，一半的一半等，后来才逐渐出现了三分之一，三分之二等简单的分数，经过漫长的历史演变，直到阿拉伯人发明了分数线后，逐渐形成今天分数的表示法。
由分物、测量产生分数
【小数的产生】
小数的概念
小数的产生是精确度的细化导致的，目前的小数的定义中明确说明了小数属于十进制分数，是实数的一种特殊表现形式。
在众多计数制度中，十进位值制计数起到了非常重要的作用，小数则是十进制的在整数范围的反方向延伸，在实际度量和整数运算(如除法、开方)的时候【这样有理数和无理数中的小数就具有了统一性】，对计算及度量精度的要求逐渐提高。
反映在数学上，就是对数量表示的精确度的要求越来越高.。
开始，人类只能用整数表示数量，继而在所表示的数量的末尾附注“有余”、“有奇”或“强”、“弱”等字样，以表示该数量与实际量之间的差异，当需要用数来比较精确地表明这种差异的时候，就逐渐形成了两种表示方法：一种是用分数来表示不足整数的剩余部分【分数小数同时产生，相辅相成，但又相互独立】；另一种是发展度量衡系统，采用更小的度量衡单位来表示有关的量，如刘徽在注解《九章算术》时，长度的记法采用的单位是：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，“忽”是最小的单位，在计算中他把“忽”作为单位，以下那些没有明确单位的数就是小数，刘徽称作“徽数”。刘徽是目前记载中最早使用小数的人，不管小数怎样进行发展，都没有脱离十进制的规则，而且逐渐进行完善，直到十九世纪末期，才形成现在这样用小数点进行表述小数的计数法【备注：在无理数出现前小数都是可以转化为分数的形式，无限循环小数也可以转化为分数】。
到目前为止，数系的扩充到了整数和分数，区分的标准就是是否被分，完整的、未被分割的数就是整数，被分开的数根据应用的不同场景分别是分数和小数（此时的小数可统一为分数）。
课件展示内容
【负数】
负数的概念
负数的产生和“0”的产生一样，在西方人的眼里一度被认为是一个魔鬼数字，与当时的教义理念完全不相符，在我们的实际生活中也无法直观的感触到，所以让人一度无法接受。
但是它的出现却和我们的生活实践所契合。
一方面在我们的生活中经常遇到表述一些具有相反意义的量，如收入与支出、盈利与亏损、上升与下降等。
另一方面在数的运算中，经常会遇到例如“3 – 4 =？”这样的难题，这样就出现了现有的数（自然数、分数、小数）不够用的矛盾。
于是就产生了负数。当负数的概念产生的哪一刻，也就有了正数的概念。正数与负数形成了具有相反意义的两个数。
我国是最早使用并认可负数的国家
负数的产生，使数具有了正负性，而0则作为正负数的分界线，将数系扩充为正数、0和负数。
课件展示内容
【第一次数学危机】
数的扩充到上述为止，好像已经完美了，自然界的一切场景和现象都可以用这些数进行公度，但数学史上的一大危机的出现，改变了人们的看法。
伟大的数学家毕达哥拉斯的徒弟-希帕索斯，在应用勾股定理c²=a²+b²求边长为1正方形的对角线的长度时，遇到了困难，他无法确定这个数到底是多少？
数学家毕达哥拉斯和徒弟希帕索斯（图片来自网络）
因为在当时人们的认知中，所有的数都是可数的，认为“1是所有数的生成元”，但是通过反证法证明，这样的数确实符合实际理论。当希帕索斯将这伟大的发现告诉它的老师毕达哥拉斯时，得到的不是肯定，而是杀身之祸，因为他的发现与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。
但真理是不会被无理的行为所埋没的，越来越多的人发现了类似于上述的数字，后来，人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者,也为了警示毕氏学派的“无理”行为，就把不可通约的量取名为“无理数”。从无理数的命名开始，数又进行新一步的扩充，形成了实数系。将原来所有的整数和分数统称为“有理数”，新出现的数则是“无理数”。
所以数也就有了无理数和有理数之分。
而有理数，则根据定义和性质可以分类如下：
有理数的分类
需要给孩子们明确的是无理数的几种情况，以免与有理数有所混淆：
无理数的几种情况
通过这样的设计下来，和学生在课堂上共同感知、共同归纳，逐步深入、引出有理数，虽然不是很深，但在学生的认知中形成了层次感和建立了数的基本系统。这样一来，学生既了解了有理数产生的过程，也掌握了什么是有理数（即分类）。
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