《小学数学教材中的大道理》(六)(P81~103)
课题六:忽视“包含除”后患无穷
“平均分物”这一数学模型涉及两种不同意义的除法。例如:在分饼干问题,
问题1:将12块饼干平均分给3人,每人几块?
列式为12÷3=4(块),每人4块。
问题2:将12块饼干分给一些人,每人4块,能分给几个人?
列式为12÷4=3(人),能分给3人。
在总数都是12的前提下,问题1是知道平均分给几人,即要分的份数以后,用除法计算每份是多少,俗称“等分除”;问题2则是知道每份的多少以后,问有多少人参与平均分,即总数里包含多少份,俗称“包含除”。
类似这样,在同一个情境里的两类互相依存的除法问题,在小学数学教学中,非常常见。《小学数学教材中的大道理》课题六《忽视“包含除”后患无穷》中,通过对不同版本教材的调查、对比,发现教材编写中存在着偏爱,有点忽视“包含除”。张奠宙教授指出,这样做的直接后果可能会导致绝大多数学生把除法等同于等分除了;编者的思维定势影响了思维的多元化,值得警惕。还特别强调:分数除法对包含除的需求特别强烈,学生借助包含除来理解分数除法会更容易。
那么明确了教材编写中存在的问题,我们怎样才能教对除法的意义呢?
一、操作感知,了解模型。
让学生在具体的操作中感受“平均分”,写出不同的算式,并说出其中一种平均分是求“有几份”,另一种平均分是求“每份是多少”。在操作后通过对比、概括给出两种情形的名称。通过分一分、画一画等活动,认识“等分除”和“包含除”。
二、解决问题,建立模型。
关于“一份”这个抽象的表征,可以从一开始就用“盘子”这样的具体物体作为平均分的表征和依托。
例如:将12个橙子平均分到盘子里的情境,即每个盘子里必须“一样多”,其数学模型是除法。
但是有两种情形,情形一:知道有4个盘子,问每个盘子里有几个(等分除);情形二:知道每个盘子里要放3个,问能放几盘(包含除)。一定要让学生注意到“有几个”和“有几盘” 的区别,建立好除法模型。
在教学中,可以借助实物、小捧等学具进行实际分物操作,也可以让学生借助课件操作,并动手画一画、圈一圈,直观感知,建立认知。
与此同时,引导学生认识除法是乘法的逆运算;同时还是同数连减的简便表示。例如12÷4=3,可以表示为12-4-4-4=0,从12里面连续减了3个4,所以可以分给3个人。
三、实际应用,巩固模型。
在整数除法教学中建立好除法模型,在不同类问题解决中,反复应用两种类型。例如在行程问题当中,知道路程既要有求速度的题目,还要有求时间的题目。在价格问题当中,知道总价既可以求单价,也可以求数量。
这样,在小数除法和分数除法的教学中,引导学生灵活选用比较适合的方法,就会更自如一些。
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