连续时间傅里叶变换

作者: seniusen | 来源:发表于2018-11-03 10:17 被阅读95次

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1. 非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换

为了对傅里叶变换的实质进行更深入的了解，我们先从一个连续时间周期方波的傅里叶级数表示着手。即，在一个周期内

$x(t) = \begin{cases} 1, & \text |t| < T_1 \\ 0, & \text T_1 < |t| < T/2 \end{cases}$

以周期 $T$ 周期重复，如下图所示。

该方波信号的傅里叶级数系数 $a_k$ 是

$\tag{1}a_k = \frac{2sin(k\omega_0T_1)}{k\omega_0T}$
式中 $\omega_0 = 2\pi/T$ 。

理解（1）式的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本，即

$\tag{2}Ta_k = \frac{2sin\omega T_1}{\omega}\lvert _{\omega=k\omega_0}$

这就是，若将 $\omega$ 看作一个连续变量，则函数 ${(2sin\omega T_1)}/{\omega}$ 就代表 $Ta_k$ 的包络，这些系数就是在此包络上等间隔取得的样本。而且，若 $T_1$ 固定，则 $Ta_k$ 的包络就与 $T$ 无关，如下图所示。

从该图可以看出，随着 $T$ 增加，该包络就被以愈来愈密集的间隔采样。随着 $T$ 变得任意大，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲（也就是说，在时域保留下的是一个非周期信号，它对应于原方波的一个周期）。

与此同时，傅里叶级数（乘以 $T$ 后）作为包络上的样本也变得愈来愈密集，这从某种意义上来说，随着 $T\to \infty$ ，傅里叶级数就趋近于这个包络函数。

这个例子说明了对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想，可以把非周期信号当作一个周期任意大的极限来看待。

现在我们来考虑一个信号 $x(t)$ ，它具有有限持续期 $2T_1$ ，从这个周期信号出发，可以构成一个周期信号 $\tilde x(t)$ ，使 $x(t)$ 就是 $\tilde x(t)$ 的一个周期。当把 $T$ 选的比较大时， $x(t)$ 就在一个更长的时段上与 $\tilde x(t)$ 相一致，并且随着 $T\to \infty$ ，对任意有限时间值 $t$ 而言， $\tilde x(t)$ 就等于 $x(t)$ 。

在这种情况下，我们考虑将 $\tilde x(t)$ 表示成傅里叶级数，将积分区间选为 $-T/2 \leqslant t \leqslant T/2$ 。

$\tag{3}\tilde x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}$

$\tag{4}a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\tilde x(t)e^{-jk\omega_0t}dt$

式中 $\omega_0=2\pi / T$ ，由于在 $|t|< T/2$ 内， $\tilde x(t)=x(t)$ ，而在其余地方， $x(t)=0$ ，所以（4）式可以重新写为

$\tag{5}a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt$

因此，定义 $Ta_k$ 的包络 $X(j\omega)$ 为

$\tag{6}X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$

这时候，系数 $a_k$ 可以写为

$\tag{7}a_k = \frac{1}{T}X(jk\omega_0)$

将（3）和（7）结合在一起， $\tilde x(t)$ 就可以用表示为

$\tag{8}\tilde x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0$

随着 $T\to \infty$ ， $\tilde x(t)$ 趋近于 $x(t)$ ，式（8）的极限就变成 $x(t)$ 的表达式。再者，当 $T\to \infty$ 时，有 $\omega_0\to 0$ ，式（8）的右边就过渡为一个积分。

右边的每一项都可以看作是高度为 $X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}$ 宽度为 $\omega_0$ 的矩形的面积。式（8）和式（6）就分别变成

$\tag{9}\boxed{ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega}$

$\tag{10}\boxed{X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$

（9）式和（10）式被称为傅里叶变换对。函数 $X(j\omega)$ 称为 $X(t)$ 的傅里叶变换或傅里叶积分，也通常被称为频谱，而（9）式称为傅里叶反变换式。

例 1
例 2

sinc 函数通常所用的形式为

$\tag{11} sinc(\theta)=\frac{sin\pi\theta}{\pi\theta}$

2. 周期信号的傅里叶变换

考虑一个信号 $x(t)$ ，其傅里叶变换 $X(j\omega)$ 是一个面积为 $2\pi$ ，出现在 $\omega = \omega_0$ 处的单独的一个冲激，即

$\tag{12} X(j\omega) = 2\pi\delta(\omega-\omega_0)$

为了求出与 $X(j\omega)$ 对应的 $x(t)$ ，可以应用式（9）的反变换公式得到

$\tag{13}x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} 2\pi\delta(\omega-\omega_0)e^{j\omega t}d\omega=e^{j\omega_0 t}$

将上面的结果再加以推广，如果 $X(j\omega)$ 是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即

$\tag{14} X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0)$

那么利用式（9），可得

$\tag{15} x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0 t}$

可以看出，式（15）就是一个周期信号所给出的傅里叶级数表示。因此，一个傅里叶级数系数为 $\{a_k\}$ 的周期信号的傅里叶变换，可以看成是出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生于第 $k$ 次谐波频率 $k\omega_0$ 上的冲激函数的面积是第 $k$ 个傅里叶级数系数 $a_k$ 的 ${2\pi}$ 倍。

3. 连续时间傅里叶变换性质

为了方便，我们将 $x(t)$ 和 $X(j\omega)$ 这一对傅里叶变换用下列符号表示

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$

3.1. 线性

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$

和

$y(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(j\omega)$

则

$\tag{16} \boxed{ ax(t)+by(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} aX(j\omega)+bY(j\omega)}$

3.2. 时移性质

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$

则

$\tag{17} \boxed{ x(t-t_0) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} e^{-j\omega t_0}X(j\omega)}$

这个性质说明：信号在时间上移位，并不改变它的傅里叶变换的模。

3.3. 共轭及共轭对称性

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$

则

$\tag{18} \boxed{ x^*(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X^*(-j\omega)}$

共轭性质就能证明，若 $x(t)$ 为实函数，那么 $X(j\omega)$ 就具有共轭对称性，即

$\tag{19} \boxed{ X(-j\omega) = X^*(j\omega) \qquad [x(t) 为实]}$

这就是说，傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是频率的奇函数。

3.4. 微分和积分

$\tag{20} \boxed{ \frac{dx(t)}{dt} \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} j\omega X(j\omega)}$

$\tag{21} \boxed{ \int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1} {j\omega} X(j\omega)+\pi X(0)\delta(\omega)}$

3.5. 时间与频率的尺度变换

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$

$\tag{22} \boxed{ x(at) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega}{a})}$

若令 $a=-1$ ，则有

$\tag{23} \boxed{ x(-t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(-j\omega)}$

3.6. 对偶性

3.7. 帕斯瓦尔定理

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$

则

$\tag{24} \boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|X(j\omega)|^2d\omega }$

3.8. 卷积性质

$\tag{25} \boxed{y(t)=h(t)*x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)}$

两个信号在时域内的卷积就等于它们傅里叶变换的乘积。

3.9. 相乘性质

$\tag{27} \boxed{r(t)=s(t)p(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} R(j\omega)=\frac{1}{2\pi}[S(j\omega)*P(j\omega)]}$

两个信号在时域内的相乘就对应于频域内的卷积。

4. 傅里叶变换性质和基本傅里叶变化列表

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