微分方程-一阶线性方程

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-11-08 07:50 被阅读0次

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一阶线性方程

$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+p(x)y=q(x)\tag{1}$
其中函数 $p(x)$ 和 $q(x)$ 在区间 $I=(a,b)$ 上连续. 当 $q(x)\equiv0$ 时，方程（1）成为
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+p(x)y=0\tag{2}$
当 $q(x)$ 不恒为 0 时，称方程（1）为非齐次线性方程，而称（2）为齐次线性方程.
首先讨论（2）的解法. 将（2）写为对称形式：
$\text{d}y+p(x)y\text{d}x=0$
分离变量，当 $y\not=0$ ，方程两边除以 $y$ ，得
$\dfrac{\text{d}y}{y}+p(x)\text{d}x=0.$
积分后得到方程（2）的解
$y=Ce^{-\int p(x)\text{d}x}\tag{3}$
因为在上面的解法中假定了 $y\not=0$ ，所以这里的任意常数 $C\not=0$ . 然而，当 $C=0$ 时（3）对应于方程（2）的特解 $y=0$ . 因此，当 $C$ 是任意常数（包括 $C=0$ ）时，（3）表示其次线性方程（2）的通解.

现在要求解非齐次线性方程（1）. 我们可以将（1）写为对称形式：
$\text{d}y+p(x)y\text{d}x=q(x)\text{d}x\tag{4}$
一般而言，（4）不是恰当方程. 但以因子 $\displaystyle \mu(x)=e^{\int p(x)\text{d}x}$ 乘（4）两侧 (注意 $\mu(x)\not=0$ )，得到方程

$\displaystyle e^{\int p(x)\text{d}x}\text{d}y+e^{\int p(x)\text{d}x}p(x)y\text{d}x=e^{\int p(x)\text{d}x}q(x)\text{d}x$
他是全微分的形式

$\displaystyle \text{d}(e^{\int p(x)\text{d}x}y)=\text{d}\int q(x)e^{\int p(x)\text{d}x}\text{d}x$
由此直接积分，得到通积分

$\displaystyle e^{\int p(x)\text{d}x}y=\int q(x)e^{\int p(x)\text{d}x}\text{d}x+C$

这样得到了方程（1）的通解

$\displaystyle y=e^{-\int p(x)\text{d}x}\left(\int q(x)e^{\int p(x)\text{d}x}\text{d}x+C\right)$

其中 $C$ 时一个任意常数. 上述方法叫做积分因子法

为了确定期间，通常把上诉通解中的不定积分写成变上限的定积分，即

$\displaystyle y=e^{-\int_{x_0}^x p(t)\text{d}t}\left[\int_{x_0}^xq(s)e^{\int _{x_0}^x p(t)\text{d}t}\text{d}s+C\right]\quad(x_0\in I),$

或

$\displaystyle y=Ce^{-\int_{x_0}^x p(t)\text{d}t}+\int_{x_0}^xq(s)e^{-\int_s^x p(t)\text{d}t}\text{d}s.$

利用这种形式，容易得到初值问题

$\displaystyle\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+p(x)y=q(x),\quad y(x_0)=y_0$

的解为

$\displaystyle y=y_0e^{-\int_{x_0}^x p(t)\text{d}t}+\int_{x_0}^xq(s)e^{-\int_s^x p(t)\text{d}t}\text{d}s$

其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 在区间 $I$ 上连续.

性质

性质一

齐次线性方程（2）的解或者恒等于零，或者恒不等于零.

性质二

线性方程的解是整体存在的，即方程（1）或（2）的任一解都在 $p(x)$ 和 $q(x)$ 有定义且连续的整个区间 $I$ 上存在.

性质三

齐次线性方程（2）的任何解的线性组合仍是它的解；齐次线性方程（2）的任一解与非齐次线性方程（1）的任一解的和是非齐次线性方程（1）的解；非齐次线性方程（1）的任意两解之差必是相应齐次线性方程（2）的解.

性质四

非齐次线性方程的任一解与相应齐次线性方程的通解之和构成非齐次线性方程的通解.

性质五

线性方程的初值问题的解存在且唯一.

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