高阶等差数列与差分方法

作者: 不为竞赛学奥数 | 来源:发表于2022-01-09 16:53 被阅读0次

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对一个给定的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的相邻两项作差,得到一个新数列

$a_{2}-a_{1},a_{3}-a_{2},\cdots,a_{n+1}-a_{n},$

这个数列称为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的一阶差数列.如果记该数列为 $\left\{b_{n}\right\}$ ,其中 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ ,那么再求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的相邻两项之差,所得数列

$b_{2}-b_{1},b_{3}-b_{2},\cdots ,b_{n+1}-b_{n},\cdots$

称为原数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的二阶差数列.

依此类推,对任意 $p\in \mathbb{N}^{*}$ ,可以定义数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的 $p$ 阶差数列.

如果 $\left\{a_{n}\right\}$ 的 $p$ 阶差数列是一个非零常数数列,那么称它为 $p$ 阶等差数列.特别地,一阶等差数列就是我们通常说的等差数列,二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列.

注意到,数列是定义在 $\mathbb{N}^{*}$ 上的函数,将上述作差思想予以推广就得到了差分的概念.

设 $f\left(x\right)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数,令 $\Delta f\left(x\right)=f\left(x+1\right)-f\left(x\right)$ ,则 $\Delta f\left(x\right)$ 也是定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数,它称为 $f\left(x\right)$ 的一阶差分,与上类似,我们可以递推地定义 $f\left(x\right)$ 的二阶,三阶, $\cdots$ , $p$ 阶差分

$\begin{aligned} \Delta^{2} f(x)=& \Delta(\Delta f(x))=\Delta(f(x+1)-f(x)) \\ =&(f(x+2)-f(x+1))-(f(x+1)-f(x)) \\ =& f(x+2)-2 f(x+1)+f(x), \\ & \cdots \cdots, \\ & \Delta^{p} f(x)=\Delta\left(\Delta^{p-1} f(x)\right) . \end{aligned}$

利用数学归纳法易证下面的定理:

定理1设 $f\left(x\right)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数,则

$\begin{aligned} \Delta^{p} f(x) &=\sum\limits_{i=0}^{p}(-1)^{p-i} \mathrm{C}_{p}^{i} f(x+i) \\ &=\sum\limits_{i=0}^{p}(-1)^{i} \mathrm{C}_{p}^{i} f(x+p-i) \end{aligned}$

如果函数 $f\left(x\right)\left(x\in \mathbb{R}\right)$ 是关于 $x$ 的 $p$ 次多项式,那么 $\Delta f\left(x\right)$ 是关于 $x$ 的 $p-1$ 次多项式, $\Delta^{2}f\left(x\right)$ 是关于 $x$ 的 $p-2$ 次多项式, $\cdots$ , $\Delta^{p}f\left(x\right)$ 是关于 $x$ 的零次多项式,且 $\Delta^{p}f\left(x\right)=p!a_{p}$ (这里 $a_{p}$ 是 $f\left(x\right)$ 的首项系数),而当 $m>p$ , $m\in \mathbb{N}^{*}$ 时, $\Delta^{m}f\left(x\right)\equiv 0$ .

反过来,对函数 $f\left(x\right)\left(x\in \mathbb{R}\right)$ ,如果 $\Delta^{p+1}f\left(x\right)\equiv 0$ ,那么 $f\left(x\right)$ 是关于 $x$ 的一个次数不超过 $p$ 的多项式.

将这些结论应用于高阶等差数列,我们有

定理2数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是一个 $p$ 阶等差数列的充要条件是数列的通项 $a_{n}$ 为 $n$ 的一个 $p$ 次多项式.

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