数学的重要性不言而喻。纵观近代科学技术的发展，可以看到数学是使科学和技术
取得重大进展的一个重要因素，它奠定了现代科学和高技术时代发展的基础。数学的研
究分为两个方面，一是充实和扩展这个学科的核心领域，这是纯粹数学的工作；二是解
决科学问题，或创造各种提出和解决问题的技巧与方法，这是应用数学以及统计学等的
工作。20世纪的第二次世界大战引发的一系列科学和技术的竞争推动了应用数学的极大
进展，人们在战后的年代里前所未有地感受到了数学的概念和数学方法的力量。但是，
林家翘教授说在中国，应用数学领域的研究还相当欠缺。
林家翘先生认为这一现象存在的原因是，在中国应用数学往往被误认为是实用数学
。应用数学是用数学的方式提出科学或工程学中的问题，并将这些问题归结或表示为能
够运用计算手段处理的数学问题，这是学术的问题，因而也是科学的问题；而实用数学
是用数学的方法帮助解决科学或工程学中的计算问题，这是服务性的，因而是实用的。
在中国实用数学之所以被误认为是应用数学，这与新中国建国之初高等学校院系调整有
关。当时中国向苏联学习，将所有的人才集中在一起，解决实际的问题，但不一定是学
术的问题，因此逐渐远离了大学的主要职责。大学的主要职责应该是教育新的人才，促
进学术发展。大学也有义务帮助国家、社会完成急需的工作，可是这不应是大学的主要
任务，不能喧宾夺主。比如，美国麻省理工学院的林肯实验室是学院与政府订合同替政
府工作的，完全为政府服务，因此它也是政府机构，不属于学校本部，学院的教授也有
些人在里面做顾问工作，但每周的工作时间大抵不超过一个工作日。
林家翘说，学术性的研究工作与由任务趋动的研究工作走的是两条路。学术的研究
是为了长期前途的发展，是为未来，而任务推动型研究是为了解决当前的实际问题，满
足现在的需要；学术型研究应当向国家自然科学基金委员会申请经费，而实用型研究应
当由国家科学和技术部拨款。但是，因为实用型研究项目的经费多，容易产生误导。清
华大学当年最大的损失是从全面型大学变为有任务的大学，替政府具体工作，因此有些
该做的事就被耽误了。做政府的项目，规模大、钱多，但与教学的距离就远了。从历史
的观点来看，当初国家正在建设，大家都在做与任务有关的事，与苏联是一样的，大学
也得做建国方面的事。但是，现在已经走过了科学建国的阶段，是科学兴国的时候了，
清华也要改回去，以学术研究和教学为主。
一个学科要健康地发展，还必须能吸引最聪明的学生到这一领域里来，从事这一学
科的研究。林先生说，将实用数学误认为是应用数学，聪明的学生就认为做应用数学研
究只是为了帮助其它学科的计算，因此，他就不会选择从事应用数学的研究，对应用数
学事业来说这是很大的损失。林先生指出，中国的教育当年学苏联学错了一大步。苏联
的模式是专业化太早，苏联的教育可以将工程学分为404门，这种做法是行不通的。专业
化太早，学生的适应力就会太差，会做普通发动机的人不会做喷气式发动机。学生们学
会了做什么，而不是学懂了做什么。专业分得太细，教师和学生的眼光都会变得太窄，
将来只能做旧的东西，不敢做创新的东西，这是很不幸的事。
林先生认为，中国的教育经过了科学救国、科学建国的时期，现在才是科学兴国的
时期，这是一个历史性的发展。过去的做法对将来不一定合适，20世纪的科学也与21世
纪不一样，因此，必须有所改变，他说他回到清华是为了帮助清华大学走向世界一流大
学，发展应用数学也是使中国科技有可能跻身世界一流水平的一条重要通道。
林家翘教授谈应用数学之二 数学思维比数学运算更重要
数学的证明依靠严密的逻辑推理，一经证明就永远正确，所以，数学证明是绝对的
。相对而言，科学的证明则依赖于观察、实验数据和理解力，科学理论的证明难以达到
数学定理证明所具有的绝对程度，只能提出近似于真理的概念。因此，在思维严密的数
学家眼里，物理学、化学、生物学、天文学等自然科学都是经验科学。林家翘先生说，
应用数学家要将数学的严密和精确引入经验学科，将这些学科中的实验问题归结或表示
为能够用运算手段处理的数学问题，从而促进经验科学的发展。
过去的经验告诉我们，所有的科学问题在本质上都是简单而有序的。物理学所有的
定理都可以用数学公式在一张纸上表示出来，而与此同时，人类的智慧又坚持用简单的
概念阐明科学的基本问题，这样做，数学就是一个基本的方法。
应用数学是利用数学的方法来发展经验科学的学科。应用数学始于经验性事实，止
于对经验性事实进行规律性预测，这些规律还必须被其它的实验数据所证实。同时，用
数学理论来发展经验科学往往又会向数学提出深刻的挑战，并对纯数学的研究启示新的
方向。
近代应用数学发端于英国，牛顿是应用数学的鼻祖。为了解释观察到的大量天体运
行的资料，解释天体运行的基本规律（开普勒三大定律），牛顿建立起天体运行的数学
模型，提出了划时代的三大力学定律和万有引力定律。但是，力学定律的内涵超越了那
个时代传统数学的范围，牛顿不得不开拓新的领域，发明了微积分，然后再用微积分、
力学定律和万有引力，求得了行星运行的规律。在19世纪末的英国，所有的理论物理被
称为应用数学。我在加州理工学院的博士导师冯·卡门也是一位应用数学的实践者和倡
导者，他坚信自然界具有数学的本质，并用他毕生的经历从那些光凭经验无法澄清的混
沌领域中寻求数学解答。冯·卡门的导师是德国哥丁根大学应用物理系主任、有"空气动
力学之父"称号的普朗特尔教授，他最大的贡献是阐明了飞机为什么会飞。他的一个科学
准则是"概括法"，即从一个复杂的物理过程中（无论是机器运行还是河水流动）概括出
关键的物理因素，然后再用数学进行分析。
冯·诺依曼是20世纪最伟大的纯粹数学家和应用数学家，在他发表的150篇论文中，
60篇研究的是纯粹数学，60篇研究的是应用数学，包括统计学和博弈论，那篇著名的会
客室博弈论文就是他在20岁那年完成的。他和莫根施特恩合作的《博弈论与经济行为》
在1944年出版，在这部著作中他们将数学科学的逻辑语言，尤其是集合论与组合数学方
法，应用到社会理论的改革过程中，将经济学置于严谨的数学基础上。评论员赫维茨认
为"只要再有10部这样的著作，经济学的未来就有保障了"。学生们将这本书称为"那部《
圣经》"。冯·诺依曼勇敢无畏地走出数学领域，他应用相似的方法解决不同的问题的成
功经历，激励着年轻的天才竞相仿效，约翰·福布斯·纳什就是其中一位。纳什证明的
均衡定理推广了冯·诺依曼定理，成功地打开了将博弈论应用到经济学、政治学、社会
学及至进化生物学的大门。纳什也因博弈论定理的证明获得了1994年的诺贝尔经济学奖
。这是应用数学发展经济科学的最新例证。
二次世界大战极大地推动了应用数学的独立发展，取得了蔚为壮观的成就。这场战
争引起了一系列科学和技术的竞争，并在战后的年代里，在航空航天、通讯、控制、管
理、设计和试验等方面，让人们感受到数学崭新的力量。20世纪数学的成就，可归入数
学史上最深刻的成就之列，应用数学和计算机科学成为科学技术取得重大进步的重要因
素，它奠定了现代科学和工业技术时代发展的基础。
上帝造物都很简单，所有的问题都可以用数学公式来表达，这是应用数学家们的一
个信仰。
林家翘教授谈应用数学之三 应用数学与纯数学并不相互隶属
应用数学是不同于纯数学的一门独立的基础学科。在这个领域里，应用数学家们希
望揭示出自然界和社会中所观察到的实际问题的规律，无论是探讨心脏中血液流动的情
况，还是研究星系旋转的规律，他们都力图寻找出各种模型来描述它们，把它们联系起
来，并从中作出各种推断。而纯数学家们则从数学本身的抽象问题中寻找定量及原理，
并论证结果。因此，应用数学与纯数学是科学研究领域中两个很不相同的学科。二者有
交叉，相辅相成，但并不互相隶属。经验科学是应用数学的核心，而逻辑架构是纯数学
的核心，它们都从属于数学科学，它们的本质区别在于价值判断的标准不同，实验验证
在应用数学起着举足轻重的作用。二者的共同之处在于应用数学家们也有兴趣发展新的
数学，但这一兴趣更主要是由寻找并解决特定问题所驱动的。因此，看应用数学必须从
两面看，一方面是科学性，一方面是数学性。要发展应用数学，数学家们应学很多科学
，科学家们则应学很多数学，这样才能维持平衡，应用数学才能健康发展。
应用数学也不同于经验科学，它们相同之处在于研究的动机和目的都是认识和理解
科学事实和真实世界的各种现象，区别则在于经验科学的方法是观察和实验，应用数学
的方法是数学模型和它的求解、求证。但二者都重视寻求简单的基本原理。在中国国内
更严重的问题是没有重视应用数学与实用数学的区别。应用数学不等同于实用数学，实
用数学的主要目的是满足社会上的需要，计算导弹的发射以及登月等，这是一种服务的
性质，帮助解决服务对象提出的数学问题，它所注重的是数学的方法，注重方法的改进
或提高；应用数学则注重的是主动提出研究对象中的科学问题，通过问题的解决加深对
研究对象的认识，或创造出新的知识，它所注重的是用数学来解决科学问题。应用数学
也应当为社会服务，但同时更重要的是要为科学本身服务，即服务于基础科学，又服务
于应用科学，不断科学前沿的发展。如果要简单地在两者间划一条界线，则可如此说：
做应用数学研究属于学术研究，应当向国家自然科学基金委员会申请经费，而做实用数
学是由任务驱动性的，应当向国家科技部申请经费。
我们可以根据以上的讨论，作一个简单的结论：应用数学是一门独立的学科，它有
自己研究问题的态度、方法和思维模式，也有自己的教育理念和方法。
林家翘教授谈应用数学之四 应用数学的真谛在于"事实"
应用数学家究竟研究什么样的问题呢？我们可以用一个经典例子来解释。我们曾经
说过牛顿是应用数学的鼻祖。为了解释观察到的天体运行资料，他根据开普勒的天体运
行三大定律，以及他自己的三大力学定律，提出了划时代的万有引力定律。但是，这一
推论所需要的数学，远远超出了当时传统数学的范围。因此，他发展出微积分来处理这
一力学问题，才求出了行星和卫星运行的规律。他并对行星和卫星的运行作出推测，得
到实证。从牛顿的工作中我们可以看出应用数学研究的五个步骤：
第一：收集经验数据。应用数学家们在自然界和社会中观察、实验，获得大量的资
料，并加以整理。如天体运行的资料，到牛顿的时候已积累了不少，从托勒密、哥白尼
、开普勒，到伽利略，已做了不少整理工作。牛顿本人也直接从事过天象观察，但这丰
富、复杂的资料在显示什么呢？第二：寻找经验数据中的规律，即，要了解收集到的数
据、资料的意义，掌握其中的规律。在上面所举的例子中，这是开普勒所做的工作。第
三：建立数学模型。应用数学家根据这些资料，进行分析，创立适当的数学模型。在上
述例中，这是牛顿的工作。在这种基础上，牛顿继续走了第四步：即发展数学理论。根
据这些理论，可以用数学方法（包括求解）对科学课题作出预测。在此两点工作中，很
有可能要创造新的数学。再以牛顿为例，为了结合开普勒的三大定律及牛顿的三大力学
定律来作分析，所需要的数学，远远超越了传统数学的范围。因此牛顿不得不发展出崭
新的领域，发展出微积分，来处理他的力学问题。第五：用经验资料验证数学模型。当
用数学原理和工具解释了数学模型后，就要回到原来的实际问题去解释问题，如果模型
与经验观察\数据不符合，就需要修改数学模型，或另起炉灶；如果数据模型得出结论与
经验观察相符合，则可从中获得原始问题中事物的发展规律。这些规律还可提炼成普遍
的规律，解释不同研究对象的问题。只有经过实验难，应用数学家们寻求的规律才能说
明自然与社会的发展，并产生社会效果。牛顿就是用他发明的微积分，得出了最重要的
万有引力定律，求得了行星运行的规律。
从应用数学的研究过程，可以看出应用数学的真谛：从自然现象出发，回到自然现
象，两端都是事实。
应用数学的研究范围有哪些呢？林家翘认为应用数学的研究范围非常广泛，可以借
用爱因斯坦的语言来这样描述应用数学："它的范围可定义为我们全部知识中能够用数学
语言表达的那个部分。"这句话原来是用来定义物理学的，但根据文献资料，它的内涵清
楚地包括了经济学、生物学等学科中的数学理论，因此这名话可能更适合于描述应用数
学的范围。一个应用数学家的智慧在于他能够判断数学的方法在哪些科学问题上最有成
效？而在哪些问题上的作用是有限的或无效的，然后再致力于将数学方法用在最有成效
的科学问题上。
在二次世界大战以前，应用数学的研究对象绝大部分与物理学有关。二次大战促成
了高等数学在力学和其它工程方面的应用。在科学家的眼中，20世纪是物理学的世界，
21世纪是生物学的世界，因此，21世纪应用数学家所面临的挑战是为生物科学建立数学
理论。我现在用以研究蛋白质结构的数学理论就是海森堡50年前提出来的湍流理论。将
数学应用到生物科学的研究具有长远的前途，充满了机会。我预期15年以后，这类研究
的成果会成为生物学及应用数学两科中的主流，成为本科生教育的一个主要部分。
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