刘小泽写于19.4.27
聚类分析的基础就是PCA，掌握这个对以后那么这次就先跟着statquest来学习一下，视频链接在https://www.youtube.com/watch?v=FgakZw6K1QQ&feature=youtu.be>
好的，首先看看为什么需要进行PCA？
假设现在有一个表达矩阵，行为基因，列为样本，中间数据是表达量：
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先假设有1个基因，在6个样本中存在
1个基因
把这6个表达量都显示出来，可以在一条直线上绘制出高表达和低表达(可以看到1，2，3更接近，并且高于4，5，6)
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再加1个基因，还是6个样本中存在
2个基因
构建了一个2维空间，基因1的表达量可以用横轴表示，基因2用纵轴表示。可以看到在基因1、2的作用下，样本1、2、3聚集在右上角，4、5、6聚集在左下角
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如果3个基因呢？
3个基因
就构建出了3维空间，点越小意味着数值越大，离得越远
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但是，如果是4个基因，我们就无法画出数据了，因为需要4维空间
因此，PCA的作用就是：对超过4维的数据降维到一个2D平面图中，并且这个图中"相似相聚"
PCA怎么操作的？
还是利用2维(2个基因)的数据进行理解：
- 先得到Gene1的平均数(横轴红色)
- 同理得到Gene2的平均数（纵轴红色）。
- 接着计算整个数据的中心：(蓝色)
- 然后将数据平移，保证最后的中心在(0，0)的位置
这里注意：数据平移并不会改变数据结构以及相互之间的大小关系，比如原来最大的值现在还是最大；原来在最左下方的现在还是在那个位置
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平移后的数据可以做一个辅助线进行拟合。先随便画一条穿过中心点的线，然后进行旋转，尽量拟合进来最多的数值。
这里又引入一个问题：PCA是怎么判断哪条拟合线质量最好呢？
比如随便画一条，然后将数据投射到这条线上，它看的是投射点到原点/中心点(0，0)的距离平方
得到了PC1这条拟合线，假设斜率为0.25，就意味着：沿着x轴走4个单位，才沿着y轴走1个单位（术语叫做：Gene1和Gene2的线性组合=> linear combination）。换句话说就是数据主要是沿着Gene1的x轴分布，数据整体分布受Gene1的影响更大
因此，当看到"PC1 is a linear combination of variables"，意思就是PC1是由几种Gene1成分加上几种Gene2成分组成的
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确定了PC1后，进行scale缩放操作，将红线长度缩放成1，其他两边也进行等比例缩放。【术语：0.97的Gene1与0.242的Gene2叫做PC1的"Singular Vector"或者"Eigenvector"】 ，然后Eigenvector再开方得到的结果叫"Singlular Value for PC1"
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因为这是一个2维的图形，因此PC2是PC1的垂直线，并且不需要任何进一步的操作
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然后就是画最终的PCA plot
首先就是将PC1放到水平
接着找到PC1、PC2同一个投射点在2D图中的位置，比如Sample6
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计算PC1、PC2的贡献率
先分别计算PC1、PC2的variation，然后算比例即可
总结
对于简单的二维数据，很方便理解，n维数据也是这样处理，大体思路就是：
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计算n个维度(或者说n个基因)的均值，找到数据中心
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中心平移到(0，0)
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找到跨过中心点的最佳拟合线=》PC1=》有n个组成成分(例如：0,62 parts Gene1; 0.15 parts Gene2; 0.77 parts Gene3，其中Gene3 is the most ingredient for PC1)
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找到垂直的PC2，同样n个组成成分 。。。
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最后找到PCn，它与前面的各个PC都垂直
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PC1放到水平，然后根据PC1~PCn中同一个sample画出交点
(因此这也说明了为什么通过PCA可以看批次效应：因为PCA图中的每个点都是一个sample，这个点中包含了大量的表达量信息；如果说本来生物学重复的sample在PCA图上离得很远，那么就意味着它们的表达量差异很大，这是不符合实际的，因此可能存在批次效应) -
根据每个PC的variation计算贡献率
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