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归谬法证明2的平方根是无理数

归谬法证明2的平方根是无理数

作者: 大龙10 | 来源:发表于2021-01-03 06:25 被阅读0次

《图灵的秘密:他的生平、思想及论文解读》
作者:[美]佩措尔德
译者:杨卫东,朱皓
出版社:人民邮电出版社
出版时间:2013-11

一、归谬法

  证明一些东西不存在是很困难的,但是数学家们发明了一种在类似情况下巧妙解决问题的证明方法。这个方法叫做间接证法,又称归谬法、背理法。
  先提出一个假设,然后根据这个假设进行符合逻辑的推理,直到推出一个矛盾的结论。这个矛盾的结论说明我们最初的假设是错误的。

二、应用

  归谬法看起来拐弯抹角,但是它在现实生活中的应用也许比我们想象的更普遍,“不在场证明”就是一种归谬法。如果被告人被怀疑在犯罪现场,而案件发生时他在自己母亲的家里,那么就意味着他在同一时间出现在了两个地方,这是荒谬的。

三、证明

  我们假设2的平方根是有理数。
  因为它是有理数,所以存在整数a和b,使得:

\frac{a}{b} =\sqrt{2}

  a和b是否都是偶数?如果是,同时除以2并且用得到的数来代替a和b。如果得到的数仍然是偶数,再除以2,一直持续做,直到a和b至少有一个是奇数。
  等式两边同时平方:\frac{a^2}{b^2} = {2}

即:a^2=2b^2

  注意,a的平方是b的平方的2倍,这就说明a的平方是个偶数,而要想a的平方为偶数,a必须为偶数。先前我们推导出a和b不可能都是偶数,所以我们知道b是奇数。
  如果a是偶数,它应该等于某个数的2倍,我们称这个数为c:(2c)^2=2b^2

即:4c^2=2b^2
也即:2c^2=b^2
  这说明b的平方是偶数,也就是说b是偶数,这与我们先前的假设“a和b不能都为偶数”相悖。

  因此,原来的假设“2的平方根是有理数”是错误的。毫无疑义,2的平方根是无理数。(证毕)

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