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利用"带余除法"证明根号2是无理数

利用"带余除法"证明根号2是无理数

作者: 备考999天 | 来源:发表于2022-09-03 18:29 被阅读0次

证明: \sqrt 2是无理数。
证明 假设\sqrt 2是有理数,那么存在互素的正整数p,q,满足\frac{p}q=\sqrt 2,从而有\tag{1}\frac{p^2}{q^2}=2
于是知1<p/q<2,所以存在一个r,使\tag{2}p=q+r
1\le r<q\\(q,r)=1,
代入(1)变形得:r^2/q=q-2r\\
所以q|r^2,因(q,r)=1,故q|r。这与1\le r<q矛盾。假设不成立,命题成立。

评注 本题是一个古老的问题,一般使用无穷递降法解决,(2)式巧妙构造并利用带余除法,推导一个整除性矛盾,最终证明了命题。

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